Jump to content

Формула Лейбница для π

В математике формула Лейбница для числа π , названная в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , утверждает, что

чередующийся сериал .

Его иногда называют рядом Мадхавы-Лейбница , поскольку он был впервые открыт индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы или его последователями в 14-15 веках (см. Серию Мадхавы ), [1] и позже был независимо переоткрыт Джеймсом Грегори в 1671 году и Лейбницем в 1673 году. [2] Ряд Тейлора для функции обратного тангенса , часто называемый рядом Грегори , равен

Формула Лейбница является частным случаем. [3]

Это также L -серия Дирихле неглавного характера Дирихле с модулем 4, оцененным при и, следовательно, значение β (1) Дирихле бета-функции .

Доказательства [ править ]

Доказательство 1 [ править ]

Учитывая только интеграл в последнем члене, имеем:

Следовательно, по теореме о сжатии при n → ∞ у нас остается ряд Лейбница:

Доказательство 2 [ править ]

Позволять , когда , сериал сходится равномерно, то

Следовательно, если подходы так что он непрерывен и сходится равномерно, доказательство завершено, где ряд сходиться по критерию Лейбница , а также, подходы изнутри угла Штольца, так что по теореме Абеля это верно.

Конвергенция [ править ]

Сравнение сходимости формулы Лейбница ( ) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Формула Лейбница сходится крайне медленно: она демонстрирует сублинейную сходимость . Для вычисления числа π с точностью до 10 правильных десятичных знаков с помощью прямого суммирования ряда требуется ровно пять миллиардов членов, потому что 4 / < + 1 10 −10 для к > 2 × 10 10 1/2 Калабрезе ) (необходимо применить оценку ошибки . Чтобы получить 4 правильных десятичных знака (ошибка 0,00005), нужно 5000 членов. [4] Доступны границы ошибок даже лучше, чем Калабрезе или Джонсонбо. [5]

Однако формулу Лейбница можно использовать для расчета π с высокой точностью (сотни цифр и более) с использованием различных методов ускорения сходимости . Например, преобразование Шэнкса , преобразование Эйлера или преобразование Ван Вейнгаардена , которые являются общими методами чередующихся рядов, могут эффективно применяться к частичным суммам ряда Лейбница. Далее, попарное объединение членов дает неперемежающийся ряд

которую можно оценить с высокой точностью по небольшому количеству членов, используя экстраполяцию Ричардсона или формулу Эйлера-Маклорена . Этот ряд также можно преобразовать в интеграл с помощью формулы Абеля-Планы и оценить с помощью методов численного интегрирования .

Необычное поведение [ править ]

Если ряд усечен в нужный момент, десятичное разложение приближения будет совпадать с разложением π для гораздо большего количества цифр, за исключением отдельных цифр или групп цифр. Например, если взять пять миллионов членов, получим

где подчеркнутые цифры неверны. На самом деле ошибки можно предсказать; они порождены Эйлера En по асимптотической формуле числами

где N — целое число, делящееся на 4. Если N выбрано в качестве степени десяти, каждый член правильной суммы становится конечной десятичной дробью. Эта формула представляет собой частный случай формулы суммирования Эйлера-Буля для чередующихся рядов, предоставляя еще один пример метода ускорения сходимости, который можно применить к ряду Лейбница. В 1992 году Джонатан Борвейн и Марк Лимбер использовали первую тысячу чисел Эйлера для вычисления числа π с точностью до 5263 десятичных знаков по формуле Лейбница. [6]

Произведение Эйлера [ править ]

Формулу Лейбница можно интерпретировать как ряд Дирихле, используя уникальный неглавный характер Дирихле по модулю 4. Как и в случае с другими рядами Дирихле, это позволяет преобразовать бесконечную сумму в бесконечное произведение с одним членом для каждого простого числа . Такое произведение называется произведением Эйлера . Это:

В этом произведении каждый член представляет собой суперчастное отношение , каждый числитель — нечетное простое число, а каждый знаменатель — ближайшее к числителю число, кратное 4. [7]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Плофкер, Ким (ноябрь 2012 г.), « Тантрасанграха Нилакантхи Сомаяджи К. Рамасубраманиана и М.С. Шрирама», The Mathematical Intelligencer , 35 (1): 86–88, doi : 10.1007/s00283-012-9344-6 , S2CID   1245075 83
  2. ^ Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для числа π Лейбницем, Грегори и Нилакантой » (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541 .
    Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевой квадратуре круга» (PDF) . Анналы Будапештского университета наук (компьютерный раздел) . 4 : 75–83.
  3. ^ Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Издательство Кембриджского университета , стр. 58, ISBN  0-521-78988-5
  4. ^ Вилларино, Марк Б. (21 апреля 2018 г.). «Ошибка в чередующемся ряду» . Американский математический ежемесячник . 125 (4): 360–364. дои : 10.1080/00029890.2017.1416875 . hdl : 10669/75532 . ISSN   0002-9890 . S2CID   56124579 .
  5. ^ Раттаджи, Диего (30 августа 2018 г.). «Оценки ошибок для ряда Грегори-Лейбница и знакопеременного гармонического ряда с использованием интегралов Далцелла». arXiv : 1809.00998 [ math.CA ].
  6. ^ Борвейн, Джонатан ; Бэйли, Дэвид ; Гиргенсон, Роланд (2004), «1.8.1: Пересмотр серии Грегори» , Эксперименты в математике: вычислительные пути к открытию , AK Peters, стр. 28–30, ISBN  1-56881-136-5 , МР   2051473
  7. ^ Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию , World Scientific, стр. 214, ISBN  9781848165267 .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8477a626f1c77e0b495b22b36ff71369__1717653720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/84/69/8477a626f1c77e0b495b22b36ff71369.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Leibniz formula for π - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)