Попеременный последовательный тест

В математическом анализе тест чередующегося ряда — это метод, используемый для того, чтобы показать, что чередующийся ряд сходится , когда его члены (1) уменьшаются по абсолютной величине и (2) приближаются к нулю в пределе. Тест использовался Готфридом Лейбницем и иногда известен как тест Лейбница , правило Лейбница или критерий Лейбница . Этот тест является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые сходящиеся переменные ряды могут не пройти первую часть теста.

Для обобщения см. тест Дирихле .

Официальное заявление

Попеременный последовательный тест

Серия формы

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots$$

где либо все n _n положительны, либо все отрицательны _, называется знакопеременным рядом .

Тест знакопеременного ряда гарантирует, что знакопеременный ряд сходится, если выполняются следующие два условия:

1. $|a_{n}|$ убывает монотонно , то есть, $|a_{n+1}|\leq |a_{n}|$, и
2. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

Теорема об оценке знакопеременного ряда

При этом пусть L обозначает сумму ряда, тогда частичная сумма ${\textstyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$ аппроксимирует L с ошибкой, ограниченной следующим пропущенным членом:

$$\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!$$

Доказательство

Предположим, нам дан ряд вида ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$, где $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ и $a_{n}\geq a_{n+1}$ для всех натуральных чисел n . (Дело ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$ следует, принимая отрицание.)

Доказательство теста знакопеременной серии

Альтернативное доказательство с использованием теста сходимости Коши см. в разделе «Тест чередующихся рядов» .

Докажем, что обе частичные суммы ${\textstyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$ с нечетным числом членов, и ${\textstyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$ с четным числом членов сходятся к одному и тому же числу L . Таким образом, обычная частичная сумма ${\textstyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$ также сходится к L .

Нечетные частичные суммы монотонно убывают:

$$S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}$$

при этом четные частичные суммы монотонно возрастают:

$$S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}$$

и то, и другое потому, что n _n монотонно убывает с ростом .

, поскольку n _{Более того} положительны, $S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0$. Таким образом, мы можем собрать эти факты, чтобы сформировать следующее наводящее на размышления неравенство:

$$a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.$$

Теперь заметим, что a ₁ − a ₂ является нижней границей монотонно убывающей последовательности S _2m+1 , тогда из теоремы о монотонной сходимости следует, что эта последовательность сходится при стремлении m к бесконечности. Аналогично сходится и последовательность четных частичных сумм.

Наконец, они должны сходиться к одному и тому же числу, потому что $\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0$.

Назовем предел L , тогда теорема о монотонной сходимости также сообщит нам дополнительную информацию о том, что

$$S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}$$

для любого м . Это означает, что частичные суммы знакопеременного ряда также «чередуются» выше и ниже конечного предела. Точнее, когда имеется нечетное (четное) количество членов, т.е. последний член является плюсовым (минусовым) членом, тогда частичная сумма находится выше (ниже) конечного предела.

Это понимание немедленно приводит к границе ошибки частичных сумм, показанной ниже.

Доказательство теоремы об оценивании знакопеременного ряда

Мы хотели бы показать $\left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!$ путем разделения на два случая.

Когда k = 2 m +1, т. е. нечетно, то

$$\left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.$$

Когда k = 2 m , т. е. четное, то

$$\left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}$$

по желанию.

Оба случая по существу опираются на последнее неравенство, полученное в предыдущем доказательстве.

Примеры

Типичный пример

Переменный гармонический ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$$

удовлетворяет обоим условиям теста знакопеременного ряда и сходится.

Нужен пример, показывающий монотонность.

Для того чтобы вывод был истинным, должны соблюдаться все условия теста, а именно сходимость к нулю и монотонность. Например, возьмем сериал

$${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots \ .$$

Знаки чередуются, а члены стремятся к нулю. Однако монотонности нет, и мы не можем применить тест. На самом деле сериал расходится. Действительно, для частичной суммы ${\textstyle S_{2n}}$ у нас есть ${\textstyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$ что в два раза больше частичной суммы гармонического ряда, который расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.

Тест достаточен, но не необходим

Монотонность теста Лейбница не является необходимым условием, поэтому сам тест является лишь достаточным, но не необходимым. (Вторая часть теста — это общеизвестное необходимое условие сходимости всех рядов.)

Примеры сходящихся немонотонных рядов:

$$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}\ .$$

В самом деле, для каждого монотонного ряда можно получить бесконечное число немонотонных рядов, сходящихся к одной и той же сумме, переставляя его члены перестановками, удовлетворяющими условию в теореме Агнью .

См. также

• Переменная серия
• тест Дирихле

Ссылки

• Конрад Кнопп (1956) Бесконечные последовательности и ряды , § 3.4, Dover Publications ISBN   0-486-60153-6
• Конрад Кнопп (1990) Теория и применение бесконечных рядов , § 15, Dover Publications ISBN   0-486-66165-2
• Джеймс Стюарт , Дэниел Клегг, Салим Уотсон (2016) Исчисление с одной переменной: ранние трансцендентальные явления (издание для инструкторов) 9E , Cengage ISBN 978-0-357-02228-9
• Э. Т. Уиттакер и Дж. Н. Уотсон (1963) Курс современного анализа , 4-е издание, §2.3, Cambridge University Press ISBN   0-521-58807-3

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Лейбница» . Математический мир .
• Джефф Крузан. «Переменный сериал»