Стохастическое исчисление

Стохастическое исчисление — это раздел математики , который оперирует случайными процессами . Это позволяет определить непротиворечивую теорию интегрирования для интегралов от случайных процессов по отношению к случайным процессам. Это направление было создано и начато японским математиком Киёси Ито во время Второй мировой войны .

Самый известный стохастический процесс, к которому применяется стохастическое исчисление, — это винеровский процесс (названный в честь Норберта Винера ), который используется для моделирования броуновского движения , описанного Луи Башелье в 1900 году и Альбертом Эйнштейном в 1905 году, а также других физических диффузионных процессов. в пространстве частиц, подверженных действию случайных сил. С 1970-х годов процесс Винера широко применяется в финансовой математике и экономике для моделирования эволюции во времени цен на акции и процентных ставок по облигациям.

Основными разновидностями стохастического исчисления являются исчисление Ито и его вариационное родственник исчисление Маллявена . По техническим причинам интеграл Ито наиболее полезен для общих классов процессов, но родственный интеграл Стратоновича часто полезен при формулировке задач (особенно в инженерных дисциплинах). Интеграл Стратоновича легко выразить через интеграл Ито, и наоборот. Основное преимущество интеграла Стратоновича состоит в том, что он подчиняется обычному цепному правилу и, следовательно, не требует леммы Ито . Это позволяет выражать проблемы в инвариантной форме системы координат, что неоценимо при разработке стохастического исчисления на многообразиях, отличных от R. ^н.Теорема о доминируемой сходимости не справедлива для интеграла Стратоновича; следовательно, очень трудно доказать результаты, не перевыразив интегралы в форме Ито.

Ито интеграл [ править ]

Интеграл Ито занимает центральное место в изучении стохастического исчисления. Интеграл $\int H\,dX$ определено для семимартингала X и локально ограниченного предсказуемого процесса H . ^{[ нужна ссылка ]}

Интеграл Стратоновича [ править ]

Интеграл Стратоновича или интеграл Фиска – Стратоновича семимартингала . $X$ против другого семимартингала Y можно определить с помощью интеграла Ито как

\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},

где [ X , Y ] _т^с обозначает квадратичную ковариацию непрерывных частей X и Ю. Альтернативное обозначение

\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}

также используется для обозначения интеграла Стратоновича.

Приложения [ править ]

Важным применением стохастического исчисления являются математические финансы , в которых часто предполагается, что цены активов подчиняются стохастическим дифференциальным уравнениям . Например, модель Блэка-Шоулза оценивает опционы так, как будто они следуют геометрическому броуновскому движению , иллюстрируя возможности и риски применения стохастического исчисления.

Стохастические интегралы [ править ]

Помимо классических интегралов Ито и Фиска-Стратоновича, существует множество различных понятий стохастических интегралов, таких как интеграл Хицуды-Скорохода , интеграл Маркуса , интеграл Огавы и другие.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Фима К. Клебанер, 2012 г., Введение в стохастическое исчисление с применением (3-е издание). Мировое научное издательство, ISBN 9781848168312
Сабадос, Т.С.; Секели, БЗ (2008). «Стохастическая интеграция, основанная на простых симметричных случайных блужданиях». Журнал теоретической вероятности . 22 : 203–219. arXiv : 0712.3908 . дои : 10.1007/s10959-007-0140-8 . Препринт