Семимартингалы

В теории вероятностей вещественнозначный случайный процесс X называется семимартингалом , если его можно разложить как сумму локального мартингала и адаптированного к кадлагу процесса с конечной вариацией. Семимартингалы являются «хорошими интеграторами», образуя самый большой класс процессов, относительно которых могут быть определены интеграл Ито и интеграл Стратоновича .

Класс семимартингалов достаточно широк (включает, например, все непрерывно дифференцируемые процессы, броуновское движение и процессы Пуассона ). Субмартингалы и супермартингалы вместе представляют собой подмножество семимартингалов.

Определение

Вещественнозначный процесс X, определенный на фильтрованном вероятностном пространстве ( , F ,( F _t ) _{t ≥ 0} ,P), называется семимартингалом , если его можно разложить как

X_{t}=M_{t}+A_{t}

где M — локальный мартингал , а A — адаптированный процесс локально ограниченной вариации . Это означает, что почти для всех $\omega \in \Omega$ и все компактные интервалы $I\subset [0,\infty )$ , пример пути $I\ni s\mapsto A_{s}(\omega )$ имеет ограниченную вариацию.

Р ^н-значный процесс X = ( X ¹,..., Х ^н) является семимартингалом, если каждая его компонента X ^я является семимартингалом.

Альтернативное определение

Во-первых, простые предсказуемые процессы определяются как линейные комбинации процессов вида H _t = A 1 _{{ t > T }} для моментов остановки T и F _T -измеримых случайных величин A . Интеграл H ⋅ X для любого такого простого предсказуемого процесса H и действительнозначного процесса X равен

H\cdot X_{t}:=1_{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).

Это распространяется на все простые предсказуемые процессы благодаря линейности H ⋅ X в H .

Вещественнозначный процесс X является семимартингалом, если он является càdlàg, адаптированным и для каждого t ≥ 0,

\left\{H\cdot X_{t}:H{\rm {\ is\ simple\ predictable\ and\ }}|H|\leq 1\right\}

ограничено по вероятности. Теорема Бичтелера-Деллашери утверждает, что эти два определения эквивалентны ( Проттер 2004 , стр. 144).

Примеры

Адаптированные и непрерывно дифференцируемые процессы являются непрерывными процессами локальной конечной вариации и, следовательно, семимартингалами.
Броуновское движение – это семимартингал.
Все мартингалы , субмартингалы и супермартингалы являются семимартингалами.
Процессы Ито , которые удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению вида dX = σdW + µdt, являются семимартингалами. Здесь W – броуновское движение, а σ, µ – адаптированные процессы.
Любой процесс Леви является семимартингалом.

Хотя большинство непрерывных и адаптированных процессов, изучаемых в литературе, являются семимартингалами, это не всегда так.

Дробное броуновское движение с параметром Херста H ≠ 1/2 не является семимартингалом.

Характеристики

Семимартингалы образуют самый большой класс процессов, для которых интеграл Ито . можно определить
Линейные комбинации семимартингалов – это семимартингалы.
Произведением семимартингалов являются семимартингалы, что является следствием формулы интегрирования по частям для интеграла Ито .
Квадратичная вариация существует для любого семимартингала.
Класс семимартингалов замкнут при необязательной остановке , локализации , изменении времени и абсолютно непрерывном изменении вероятностной меры (см. теорему Гирсанова ).
Если X — это R ^м значный семимартингал и f — дважды непрерывно дифференцируемая функция из R ^м в Р ^н, то f ( X ) — семимартингал. Это следствие леммы Ито .
Свойство быть семимартингалом сохраняется при уменьшении фильтрации. Точнее, если X является семимартингалом относительно фильтрации и _Ft относительно подфильтрации Gt _{является} , то X Gt - _{адаптирован} семимартингалом.
(Счетное расширение Жакода) Свойство быть семимартингалом сохраняется при расширении фильтрации счетным множеством непересекающихся множеств. Предположим, что F _t — фильтрация, а G _t — фильтрация, порожденная F _t и счетным множеством непересекающихся измеримых множеств. Тогда каждый F _t -семимартингал является также G _t -семимартингалом. ( Проттер 2004 , стр. 53)

Семимартингальные разложения

По определению, каждый семимартингал представляет собой сумму локального мартингала и процесса конечной вариации. Однако это разложение не уникально.

Непрерывные семимартингалы

Непрерывный семимартингал однозначно разлагается как X = M + A , где M — непрерывный локальный мартингал, а A — непрерывный процесс конечной вариации, начинающийся с нуля. ( Роджерс и Уильямс 1987 , стр. 358)

Например, если X — процесс Ито, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению d X _t = σ _t d W _t + b _t dt, то

M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.

Специальные семимартингалы

Специальный семимартингал – это действительно ценный процесс. $X$ с разложением $X=M^{X}+B^{X}$ , где $M^{X}$ является локальным мартингейлом и $B^{X}$ представляет собой предсказуемый процесс с конечной вариацией, начинающийся с нуля. Если такое разложение существует, то оно единственно с точностью до P-нулевого множества.

Каждый специальный семимартингал является семимартингалом. И наоборот, семимартингал является специальным семимартингалом тогда и только тогда, когда процесс X _t^* ≡ суп _{s ≤ т} |X _s | ( локально интегрируема Проттер 2004 , стр. 130).

Например, каждый непрерывный семимартингал является специальным семимартингалом, и в этом случае M и A являются непрерывными процессами.

Мультипликативные разложения

Напомним, что ${\mathcal {E}}(X)$ обозначает стохастическую экспоненту семимартингала $X$ . Если $X$ является специальным семимартингалом таким, что ^{[ нужны разъяснения ]} $\Delta B^{X}\neq -1$ , затем ${\mathcal {E}}(B^{X})\neq 0$ и ${\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)$ это локальный мартингейл. ^[1] Процесс ${\mathcal {E}}(B^{X})$ называется компенсатором мультипликативным ${\mathcal {E}}(X)$ и личность ${\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right){\mathcal {E}}(B^{X})$ мультипликативное разложение ${\mathcal {E}}(X)$ .

Чисто разрывные семимартингалы / квадратичные семимартингалы чистого скачка

Семимартингал называется чисто разрывным ( Kallenberg 2002 ), если его квадратичная вариация [ X ] представляет собой процесс чистого скачка с конечной вариацией, т.е.

[X]_{t}=\sum _{s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}

.

Согласно этому определению, время представляет собой чисто прерывистый семимартингал, даже если оно вообще не имеет скачков. Альтернативная (и предпочтительная) терминология квадратичного семимартингала с чистым скачком для чисто разрывного семимартингала ( Проттер 2004 , стр. 71) мотивирована тем фактом, что квадратичная вариация чисто разрывного семимартингала представляет собой процесс чистого скачка. Каждый семимартингал конечной вариации является квадратичным семимартингалом чистого скачка. Адаптированный непрерывный процесс является квадратичным семимартингалом чистого скачка тогда и только тогда, когда он имеет конечную вариацию.

Для каждого семимартингала X существует единственный непрерывный локальный мартингал. $X^{c}$ начиная с нуля, так что $X-X^{c}$ является квадратичным семимартингалом чистого скачка ( He, Wang & Yan 1992 , стр. 209; Калленберг 2002 , стр. 527). Местный мартингейл $X^{c}$ называется непрерывной мартингальной частью X .

Обратите внимание, что $X^{c}$ зависит от меры. Если $P$ и $Q$ две эквивалентные меры, то $X^{c}(P)$ обычно отличается от $X^{c}(Q)$ , в то время как оба $X-X^{c}(P)$ и $X-X^{c}(Q)$ являются квадратичными семимартингалами чистого скачка. По теореме Гирсанова $X^{c}(P)-X^{c}(Q)$ представляет собой непрерывный процесс конечной вариации, дающий $[X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}$ .

Компоненты семимартингала с непрерывным и дискретным временем.

Каждый семимартингал $X$ имеет уникальное разложение $X=X_{0}+X^{\mathrm {qc} }+X^{\mathrm {dp} },$ где $X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0$ , компонента непрерывного времени $X^{\mathrm {qc} }$ не скачет в предсказуемые моменты времени, а компонент дискретного времени $X^{\mathrm {dp} }$ равна сумме его скачков в предсказуемые моменты времени в топологии семимартингала. Тогда у человека есть $[X^{\mathrm {qc} },X^{\mathrm {dp} }]=0$ . ^[2] Типичными примерами компонента непрерывного времени являются процесс Ито и процесс Леви . Компонент дискретного времени часто рассматривается как цепь Маркова , но в целом предсказуемое время скачка не может быть изолированными точками; например, в принципе $X^{\mathrm {dp} }$ может прыгать в любое рациональное время. Заметьте также, что $X^{\mathrm {dp} }$ не обязательно имеет конечную вариацию, хотя и равна сумме своих скачков (в топологии семимартингала ). Например, на временном интервале $[0,\infty )$ брать $X^{\mathrm {dp} }$ иметь независимые приращения, иногда со скачками $\{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }$ принимая значения $\pm 1/n$ с равной вероятностью.

Семимартингалы на многообразии

Концепция семимартингалов и связанная с ней теория стохастического исчисления распространяется на процессы, принимающие значения в дифференцируемом многообразии . Процесс X на многообразии M является семимартингалом, если ( X ) является семимартингалом для любой гладкой функции f из M в R. f ( Rogers & Williams 1987 , стр. 24) Стохастическое исчисление семимартингалов на общих многообразиях требует использования интеграла Стратоновича .

См. также

Сигма-мартингейл

Ссылки

^ Лепингль, Доминик; Мемин, Жан (1978). «Sur l'integrabilité единый для экспоненциальных мартингалов» . Журнал теории вероятностей и смежных областей (на французском языке). 42 (3). Предложение II.1. дои : 10.1007/BF00641409 . ISSN 0044-3719 .
^ Черни, Алесь; Руф, Йоханнес (01 ноября 2021 г.). «Семимартингалы чистого прыжка» . Бернулли . 27 (4): 2631. arXiv : 1909.03020 . дои : 10.3150/21-BEJ1325 . ISSN 1350-7265 . S2CID 202538473 .

Он, Шэн-у; Ван, Цзя-ган; Ян, Цзя-ан (1992), Теория семимартингала и стохастическое исчисление , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
Калленберг, Олав (2002), Основы современной вероятности (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (1987), Диффузия, марковские процессы и мартингалы , том. 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
Карандикар, Раджива Л.; Рао, BV (2018), Введение в стохастическое исчисление , Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4

[1] Лепингль, Доминик; Мемин, Жан (1978). «Sur l'integrabilité единый для экспоненциальных мартингалов» . Журнал теории вероятностей и смежных областей (на французском языке). 42 (3). Предложение II.1. дои : 10.1007/BF00641409 . ISSN 0044-3719 .

[2] Черни, Алесь; Руф, Йоханнес (01 ноября 2021 г.). «Семимартингалы чистого прыжка» . Бернулли . 27 (4): 2631. arXiv : 1909.03020 . дои : 10.3150/21-BEJ1325 . ISSN 1350-7265 . S2CID 202538473 .

[1]

[2]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Диффузия Ито Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Тропы Кадлага Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля–единицы ( Блюменталь , Борель–Кантелли , Энгельберт–Шмидт , Хьюитт–Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Ито интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теорема о представлении Скорохода Скороход пространство Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория