Остановленный процесс

В математике — остановленный процесс это случайный процесс , который вынужден принять одно и то же значение через заданное (возможно, случайное) время.

Определение

Позволять

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ быть вероятностным пространством ;
• $(\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})$ быть измеримым пространством ;
• $X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {X}$ быть случайным процессом;
• $\tau :\Omega \to [0,+\infty ]$ быть временем остановки относительно некоторой фильтрации $\{{\mathcal {F}}_{t}|t\geq 0\}$ из ${}{\mathcal {F}}$.

Затем остановленный процесс $X^{\tau }$ определяется для $t\geq 0$ и $\omega \in \Omega$ к

$X_{t}^{\tau }(\omega ):=X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega ).$

Примеры

Играть в азартные игры

Представьте себе игрока, играющего в рулетку . X _t обозначает общую сумму активов игрока в казино на момент времени t ≥ 0, которая может быть или не быть отрицательной, в зависимости от того, предлагает ли казино кредит. Пусть Y _t обозначает, какими были бы активы игрока, если бы он/она мог получить неограниченный кредит (чтобы Y мог достичь отрицательных значений).

• Остановка в детерминированный момент времени: предположим, что казино готово предоставить игроку неограниченный кредит, и что игрок решает выйти из игры в заранее определенное время T , независимо от состояния игры. Тогда X действительно остановленный процесс Y ^Т , поскольку после выхода из игры счет игрока остается в том же состоянии, в котором он находился в момент выхода игрока из игры.
• Остановка в произвольный момент: предположим, что у игрока нет других источников дохода и казино не будет предоставлять своим клиентам кредит. Игрок решает играть до тех пор, пока он/она не разорится. Тогда случайное время

$\tau (\omega ):=\inf\{t\geq 0|Y_{t}(\omega )=0\}$

— время остановки для Y , и, поскольку игрок не может продолжать игру после того, как он/она исчерпал свои ресурсы, X — это остановленный процесс Y ^т .

Броуновское движение

Позволять $B:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R}$ — одномерное стандартное броуновское движение, начинающееся с нуля.

• Остановка в детерминированное время $T>0$: если $\tau (\omega )\equiv T$, то остановленное броуновское движение $B^{\tau }$ будет развиваться как обычно до тех пор, пока время $T$, и после этого останется постоянным: т.е. $B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv B_{T}(\omega )$ для всех $t\geq T$.
• Остановка в случайное время: определите случайное время остановки. $\tau$ к первому времени попадания по региону $\{x\in \mathbb {R} |x\geq a\}$:

$\tau (\omega ):=\inf\{t>0|B_{t}(\omega )\geq a\}.$

Тогда остановленное броуновское движение $B^{\tau }$ будет развиваться как обычно до случайного момента $\tau$, и после этого будет постоянным со значением $a$: то есть, $B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv a$ для всех $t\geq \tau (\omega )$.

См. также

• Убитый процесс

Ссылки

• Роберт Г. Галлагер. Случайные процессы: теория для приложений. Издательство Кембриджского университета, 12 декабря 2013 г., стр. 450