Время удара

При изучении случайных процессов в математике время попадания (или время первого попадания ) — это первый момент, когда данный процесс «попадает» в заданное подмножество пространства состояний . Время выхода и время возвращения также являются примерами времени попадания.

Определения [ править ]

Пусть $T$ — упорядоченный набор индексов, такой как натуральные числа , $\mathbb {N} ,$ неотрицательные действительные числа , $[0, +\infty)$ или их подмножество; элементы $t\in T$ можно рассматривать как «времена». Учитывая вероятностное пространство $( , Σ, Pr)$ и измеримое пространство состояний $S$ , пусть $X:\Omega \times T\to S$ — случайный процесс , и пусть $A$ — измеримое подмножество пространства $S.$ состояний Затем первое время удара $\tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]$ – случайная величина, определяемая формулой

\tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.

Время первого выхода (из $)$ определяется как время первого попадания для $S \ A$ , дополнения A $A$ в $S$ . Как ни странно, это также часто обозначается как $τ A$ . ^[1]

Время первого возврата определяется как время первого попадания для одноэлементного набора ${X 0 (ω)},$ который обычно является заданным детерминированным элементом пространства состояний, таким как начало системы координат.

Примеры [ править ]

Любое время остановки — это время достижения правильно выбранного процесса и набора целей. Это следует из обращения теоремы Дебю (Фишер, 2013).
Обозначим через $B$ стандартное броуновское движение на вещественной прямой $\mathbb {R}$ начиная с начала. Тогда время попадания $τ A$ удовлетворяет требованиям измеримости и является временем остановки для любого измеримого по Борелю множества $A\subseteq \mathbb {R} .$
Для $B$ , как указано выше, пусть $τ r$ ( $r > 0$ ) обозначает первое время выхода для интервала $(- r, r)$ , т.е. первое время попадания для $(-\infty ,-r]\cup [r,+\infty ).$ Тогда значение и дисперсия τ $r ожидаемое$ удовлетворяют условиям

{\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}

Для $B$ , как указано выше, время попадания в одну точку (отличную от начальной точки 0) имеет распределение Леви .

Начальная теорема

Время попадания набора $F$ известно как дебют F $также$ . Теорема Дебю говорит, что время попадания в измеримое множество $F$ для прогрессивно измеримого процесса является временем остановки. К прогрессивно измеримым процессам относятся, в частности, все право- и лево-непрерывные адаптированные процессы .Доказательство измеримости дебюта довольно сложное и затрагивает свойства аналитических множеств . Теорема требует, чтобы лежащее в ее основе вероятностное пространство было полным или, по крайней мере, универсально полным.

Обратная теорема Дебю утверждает, что каждое время остановки, определенное относительно фильтрации по вещественному временному индексу, может быть представлено временем попадания. В частности, по существу для любого такого времени остановки существует адаптированный невозрастающий процесс с путями càdlàg (RCLL), который принимает только значения 0 и 1, так что время попадания этого процесса в набор ${0}$ является рассматриваемым время остановки. Доказательство очень простое. ^[2]

См. также [ править ]

Остановка времени

Ссылки [ править ]

^ Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-04758-2 .
^ Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .

[1] Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-04758-2 .

[Fischer_(2013)-2] Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .

[1]

[2]

Определения [ править ]

Примеры [ править ]

Начальная теорема ​ ​

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Начальная теорема