Адаптированный процесс

При изучении случайных процессов случайный процесс адаптируется (также называемый неупреждающим или неупреждающим процессом ), если в это же время доступна информация о значении процесса в данный момент времени. Неофициальная интерпретация ^[1] заключается в том, что X адаптирован тогда и только тогда, когда для каждой реализации и каждого X n n _{известен} в момент n . Концепция адаптированного процесса важна, например, для определения интеграла Ито , который имеет смысл только в том случае, если подынтегральная функция является адаптированным процессом.

Определение

Позволять

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ быть вероятностным пространством ;
$I$ быть набором индексов с общим порядком $\leq$ (часто, $I$ является $\mathbb {N}$ , $\mathbb {N} _{0}$ , $[0,T]$ или $[0,+\infty )$ );
$\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ сигма — фильтрация - алгебры ${\mathcal {F}}$ ;
$(S,\Sigma )$ быть измеримым пространством , пространством состояний ;
$X_{i}:I\times \Omega \to S$ быть случайным процессом .

Случайный процесс $(X_{i})_{i\in I}$ говорят, что он приспособлен к фильтрации $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ если случайная величина $X_{i}:\Omega \to S$ это $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$ - измеримая функция для каждого $i\in I$ . ^[2]

Примеры

Рассмотрим случайный процесс X : [0, T ] × Ω → R и снабдим действительную прямую R ее обычной борелевской сигма-алгеброй, порожденной открытыми множествами .

Если мы возьмем естественную фильтрацию F _•^Х, где F _t^Х — σ -алгебра, порожденная прообразами X _s⁻¹( B ) для борелевских подмножеств B из R и времен 0 ≤ s ≤ t , тогда X автоматически F _•^Х-адаптированный. Интуитивно понятно, что естественная фильтрация F _•^Х содержит «полную информацию» о поведении X до момента времени t .
Это дает простой пример неадаптированного процесса X : [0, 2] × Ω → R : положим F _t как тривиальную σ -алгебру {∅, Ω} для моментов времени 0 ⩽ t < 1, и F _t = Ф _т^Х для времен 1 ≤ t ≤ 2 . Поскольку единственный способ, которым функция может быть измерима относительно тривиальной σ -алгебры, — это быть постоянной, любой процесс X , непостоянный на [0, 1], не будет F _• -адаптированным. Непостоянный характер такого процесса «использует информацию» из более уточненных «будущих» σ -алгебр F _t , 1 ≤ t ≤ 2 .

См. также

Ссылки

^ Уильямс, Дэвид (1979). «II.25». Диффузии, марковские процессы и мартингалы: основы . Полет. 1. Уайли. ISBN 0-471-99705-6 .
^ Оксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения . Спрингер. п. 25. ISBN 978-3-540-04758-2 .

[1] Уильямс, Дэвид (1979). «II.25». Диффузии, марковские процессы и мартингалы: основы . Полет. 1. Уайли. ISBN 0-471-99705-6 .

[2] Оксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения . Спрингер. п. 25. ISBN 978-3-540-04758-2 .

[1]

[2]