Постепенно измеримый процесс

В математике . прогрессивная измеримость свойство теории случайных процессов — Постепенно измеримый процесс, хотя и определен вполне технически, важен, поскольку подразумевает, что процесс измерим остановленный . Быть прогрессивно измеримым – это более сильное свойство, чем понятие адаптированного процесса . ^[1] Прогрессивно измеримые процессы играют важную роль в теории интегралов Ито .

Определение

Позволять

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ быть вероятностным пространством ;
$(\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})$ быть измеримым пространством , пространством состояний ;
$\{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}$ сигма — фильтрация - алгебры ${\mathcal {F}}$ ;
$X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X}$ быть случайным процессом (набор индексов может быть $[0,T]$ или $\mathbb {N} _{0}$ вместо $[0,\infty )$ );
$\mathrm {Borel} ([0,t])$ — сигма-алгебра Бореля на $[0,t]$ .

Процесс $X$ называется прогрессивно измеримым ^[2] (или просто прогрессивный ), если для каждого времени $t$ , карта $[0,t]\times \Omega \to \mathbb {X}$ определяется $(s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )$ является $\mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}$ - измеримый . Это означает, что $X$ является ${\mathcal {F}}_{t}$ -адаптированный. ^[1]

Подмножество $P\subseteq [0,\infty )\times \Omega$ называется прогрессивно измеримым, если процесс $X_{s}(\omega ):=\chi _{P}(s,\omega )$ прогрессивно измерима в смысле, определенном выше, где $\chi _{P}$ – индикаторная функция $P$ . Множество всех таких подмножеств $P$ образовать сигма-алгебру на $[0,\infty )\times \Omega$ , обозначенный $\mathrm {Prog}$ , и процесс $X$ является прогрессивно измеримым в смысле предыдущего абзаца тогда и только тогда, когда оно $\mathrm {Prog}$ -измеримый.

Характеристики

Это можно показать ^[1] что $L^{2}(B)$ , пространство случайных процессов $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ для которого интеграл Ито

\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}

относительно броуновского движения

B

определено, представляет собой множество эквивалентности классов

\mathrm {Prog}

-измеримые процессы в

L^{2}([0,T]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n})

.

Каждый адаптированный процесс с непрерывными путями слева или справа поддается постепенному измерению. Следовательно, каждый адаптированный процесс с путями Càdlàg поддается постепенному измерению. ^[1]
Каждый измеримый и адаптированный процесс имеет постепенно измеримую модификацию. ^[1]

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.). Спрингер. стр. 4–5. ISBN 0-387-97655-8 .
^ Паскуччи, Андреа (2011). «Стохастические процессы в непрерывном времени». Методы PDE и мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Боккони и Спрингер. Спрингер. п. 110. дои : 10.1007/978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1 . S2CID 118113178 .

Эта вероятности статья о незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Karatzas-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.). Спрингер. стр. 4–5. ISBN 0-387-97655-8 .

[Pasc-2] Паскуччи, Андреа (2011). «Стохастические процессы в непрерывном времени». Методы PDE и мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Боккони и Спрингер. Спрингер. п. 110. дои : 10.1007/978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1 . S2CID 118113178 .

[1]

[2]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессель процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Диффузия Ито Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Тропы Кадлага Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля–единицы ( Блюменталь , Борель–Кантелли , Энгельберт–Шмидт , Хьюитт–Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Ито интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теорема о представлении Скорохода Скороход пространство Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория