Процесс Морана

Процесс Морана или модель Морана — это простой стохастический процесс, используемый в биологии для описания конечных популяций. Процесс назван в честь Патрика Морана , который впервые предложил модель в 1958 году. ^[1] Его можно использовать для моделирования процессов увеличения разнообразия, таких как мутации , а также эффектов сокращения разнообразия, таких как генетический дрейф и естественный отбор . Этот процесс может описать вероятностную динамику в конечной популяции постоянного размера N, в которой две аллели A и B конкурируют за доминирование. Эти две аллели считаются истинными репликаторами (т.е. объектами, которые создают копии самих себя).

На каждом временном шаге случайная особь (типа A или B) выбирается для размножения и случайная особь выбирается для смерти; таким образом гарантируя, что размер популяции остается постоянным. Для моделирования отбора один тип должен иметь более высокую приспособленность и, следовательно, с большей вероятностью будет выбран для воспроизводства.Одна и та же особь может быть выбрана для смерти и для размножения на одном и том же этапе.

Нейтральный дрейф

Нейтральный дрейф — это идея о том, что нейтральная мутация может распространиться по популяции, так что в конечном итоге исходный аллель будет потерян. Нейтральная мутация не приносит в приспособленности своему носителю каких-либо преимуществ или недостатков . Простой случай процесса Морана может описать это явление.

Процесс Морана определен в пространстве состояний $i = 0,..., N$ , которое подсчитывает количество особей A. Поскольку количество особей A может измениться не более чем на одного на каждом временном шаге, переход существует только между состоянием i и состоянием $i - 1, i$ и $i + 1$ . Таким образом, матрица перехода случайного процесса имеет трехдиагональную форму, а вероятности перехода равны

{\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{N}}{\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {i}{N}}{\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}

Запись $P_{i,j}$ обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j . Чтобы понять формулы вероятностей перехода, нужно взглянуть на определение процесса, в котором говорится, что всегда одна особь выбирается для воспроизводства, а другая - для смерти. После вымирания особей A они никогда не будут повторно введены в популяцию, поскольку этот процесс не моделирует мутации (A не может быть повторно введен в популяцию после вымирания и наоборот ) и, таким образом, $P_{0,0}=1$ . По той же причине популяция особей A всегда останется N, как только они достигнут этого числа и захватят популяцию и, таким образом, $P_{N,N}=1$ . Состояния 0 и N называются поглощающими , а состояния $1, ..., N - 1$ — переходными . Вероятности промежуточного перехода можно объяснить, рассматривая первый член как вероятность выбора особи, численность которой увеличится на единицу, а второй член как вероятность выбора другого типа для смерти. Очевидно, что если для размножения и гибели выбран один и тот же вид, то численность одного вида не меняется.

В конце концов население достигнет одного из поглощающих состояний и останется там навсегда. В переходных состояниях будут происходить случайные колебания, но в конечном итоге популяция A либо вымрет, либо достигнет фиксации. Это одно из наиболее важных отличий от детерминированных процессов, которые не могут моделировать случайные события. Ожидаемое значение и дисперсия числа особей A $X (t)$ в момент времени t начальное состояние $X (0) = i$ могут быть вычислены, когда задано :

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]&=i\\\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i)&={\tfrac {2i}{N}}\left(1-{\tfrac {i}{N}}\right){\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}\end{aligned}}

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы увидеть

For the expected value the calculation runs as follows. Writing $p = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠i/N⁠,$

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=(i-1)P_{i,i-1}+iP_{i,i}+(i+1)P_{i,i+1}\\&=2ip(1-p)+i(p^{2}+(1-p)^{2})\\&=i.\end{aligned}}

Writing $Y=X(t)$ and $Z=X(t-1)$ , and applying the law of total expectation, $\operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]=\operatorname {E} [Z].$ Applying the argument repeatedly gives $\operatorname {E} [X(t)]=\operatorname {E} [X(0)],$ or $\operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]=i.$

For the variance the calculation runs as follows. Writing $V_{t}=\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i),$ we have

{\begin{aligned}V_{1}&=E\left[X(1)^{2}\mid X(0)=i\right]-\operatorname {E} [X(1)\mid X(0)=i]^{2}\\&=(i-1)^{2}p(1-p)+i^{2}\left(p^{2}+(1-p)^{2}\right)+(i+1)^{2}p(1-p)-i^{2}\\&=2p(1-p)\end{aligned}}

For all $t$ , $(X(t)\mid X(t-1)=i)$ and $(X(1)\mid X(0)=i)$ are identically distributed, so their variances are equal. Writing as before $Y=X(t)$ and $Z=X(t-1)$ , and applying the law of total variance,

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} [\operatorname {Var} (Y\mid Z)]+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [Y\mid Z])\\&=E\left[\left({\frac {2Z}{N}}\right)\left(1-{\frac {Z}{N}}\right)\right]+\operatorname {Var} (Z)\\&=\left({\frac {2\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)\left(1-{\frac {\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\operatorname {Var} (Z).\end{aligned}}

If $X(0)=i$ , we obtain

V_{t}=V_{1}+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)V_{t-1}.

Rewriting this equation as

V_{t}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\left(V_{t-1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t-1}\left(V_{1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)

yields

V_{t}=V_{1}{\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}

as desired.

Вероятность того, что A достигнет фиксации, называется вероятностью фиксации . Для простого процесса Морана эта вероятность равна $x i = ⁠ i / N ⁠ .$

Поскольку все особи обладают одинаковой приспособленностью, они также имеют одинаковые шансы стать предками всей популяции; эта вероятность $⁠ 1 / N ⁠$ и, таким образом, сумма всех i вероятностей (для всех особей A) равна просто $⁠ я / Н ⁠ .$ Среднее время поглощения, начинающегося в состоянии i, определяется выражением

k_{i}=N\left[\sum _{j=1}^{i}{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}{\frac {i}{j}}\right]

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы увидеть

The mean time spent in state j when starting in state i which is given by

k_{i}^{j}=\delta _{ij}+P_{i,i-1}k_{i-1}^{j}+P_{i,i}k_{i}^{j}+P_{i,i+1}k_{i+1}^{j}

Here $δ ij$ denotes the Kroenecker delta. This recursive equation can be solved using a new variable $q i$ so that $P_{i,i-1}=P_{i,i+1}=q_{i}$ and thus $P_{i,i}=1-2q_{i}$ and rewritten

k_{i+1}^{j}=2k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}

The variable $y_{i}^{j}=k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}$ is used and the equation becomes

{\begin{aligned}y_{i+1}^{j}&=y_{i}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}\\\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})+(k_{2}^{j}-k_{1}^{j})+\cdots +(k_{m-1}^{j}-k_{m-2}^{j})+(k_{m}^{j}-k_{m-1}^{j})\\&=k_{m}^{j}-k_{0}^{j}\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=k_{m}^{j}\\\\y_{1}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})=k_{1}^{j}\\y_{2}^{j}&=y_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}\\y_{3}^{j}&=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}-{\frac {\delta _{2j}}{q_{2}}}\\&\vdots \\y_{i}^{j}&=k_{1}^{j}-\sum _{r=1}^{i-1}{\frac {\delta _{rj}}{q_{r}}}={\begin{cases}k_{1}^{j}&j\geq i\\k_{1}^{j}-{\frac {1}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\\\\k_{i}^{j}&=\sum _{m=1}^{i}y_{m}^{j}={\begin{cases}i\cdot k_{1}^{j}&j\geq i\\i\cdot k_{1}^{j}-{\frac {i-j}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\end{aligned}}

Knowing that $k_{N}^{j}=0$ and

q_{j}=P_{j,j+1}={\frac {j}{N}}{\frac {N-j}{N}}

we can calculate $k_{1}^{j}$ :

{\begin{aligned}k_{N}^{j}=\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}=N\cdot k_{1}^{j}&-{\frac {N-j}{q_{j}}}=0\\k_{1}^{j}&={\frac {N}{j}}\end{aligned}}

Therefore

k_{i}^{j}={\begin{cases}{\frac {i}{j}}\cdot k_{j}^{j}&j\geq i\\{\frac {N-i}{N-j}}\cdot k_{j}^{j}&j\leq i\end{cases}}

with $k_{j}^{j}=N$ . Now $k i$ , the total time until fixation starting from state i, can be calculated

{\begin{aligned}k_{i}=\sum _{j=1}^{N-1}k_{i}^{j}&=\sum _{j=1}^{i}k_{i}^{j}+\sum _{j=i+1}^{N-1}k_{i}^{j}\\&=\sum _{j=1}^{i}N{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}N{\frac {i}{j}}\end{aligned}}

При больших N аппроксимация

\lim _{N\to \infty }k_{i}\approx -N^{2}\left[(1-x_{i})\ln(1-x_{i})+x_{i}\ln(x_{i})\right]

держит.

Выбор

Если один аллель имеет преимущество в приспособленности перед другим аллелем, он с большей вероятностью будет выбран для воспроизводства. Это можно включить в модель, если люди с аллелем А обладают физической подготовкой. $f_{i}>0$ и люди с аллелем B имеют физическую форму $g_{i}>0$ где $i$ – количество особей типа А; таким образом описывая общий процесс рождения и смерти. Матрица перехода случайного процесса имеет трехдиагональную форму. Позволять $r_{i}:=f_{i}/g_{i}$ , то вероятности перехода равны

{\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {g_{i}\cdot (N-i)}{f_{i}\cdot i+g_{i}\cdot (N-i)}}\cdot {\frac {i}{N}}={\frac {1}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {f_{i}\cdot i}{f_{i}\cdot i+g_{i}\cdot (N-i)}}\cdot {\frac {N-i}{N}}={\frac {r_{i}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {i}{N}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}

Запись $P_{i,j}$ обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j . Отличие от нейтрального отбора, описанного выше, заключается в том, что воспроизведение особи с аллелем B принимается с вероятностью.

{\frac {f_{i}/g_{i}}{{\frac {f_{i}}{g_{i}}}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{i}}}},

и воспроизводство особи с аллелем А принимается с вероятностью

{\frac {1}{{\frac {f_{i}}{g_{i}}}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{i}}}},

когда число особей с аллелем B равно i.

Также в этом случае вероятности фиксации при запуске в состоянии i определяются повторением

x_{i}={\begin{cases}0&i=0\\\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}&1\leq i\leq N-1\\1&i=N\end{cases}}

А закрытая форма имеет вид

x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}\qquad {\text{(1)}}

где $\gamma _{i}=P_{i,i-1}/P_{i,i+1}$ по определению и будет просто $g_{i}/f_{i}$ для общего случая.

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы увидеть

Also in this case, fixation probabilities can be computed, but the transition probabilities are not symmetric. The notation $P_{i,i+1}=\alpha _{i},P_{i,i-1}=\beta _{i},P_{i,i}=1-\alpha _{i}-\beta _{i}$ and $\gamma _{i}=\beta _{i}/\alpha _{i}$ is used. The fixation probability can be defined recursively and a new variable $y_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ is introduced.

{\begin{aligned}x_{i}&=\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}\\\beta _{i}(x_{i}-x_{i-1})&=\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})\\\gamma _{i}\cdot y_{i}&=y_{i+1}\end{aligned}}

Now two properties from the definition of the variable $y i$ can be used to find a closed form solution for the fixation probabilities:

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}y_{i}&=x_{m}&&1\\y_{k}&=x_{1}\cdot \prod _{l=1}^{k-1}\gamma _{l}&&2\\\Rightarrow \sum _{m=1}^{i}y_{m}&=x_{1}+x_{1}\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}=x_{i}&&3\end{aligned}}

Combining (3) and $x N = 1$ :

x_{1}\left(1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}\right)=x_{N}=1.

which implies:

x_{1}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}

This in turn gives us:

x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}

Этот общий случай, когда приспособленность A и B зависит от численности каждого типа, изучается в эволюционной теории игр .

Менее сложные результаты получаются, если постоянный коэффициент приспособленности $r=1/\gamma _{i}$ предполагается для всех i. Особи типа A размножаются с постоянной скоростью r, а особи с аллелем B — со скоростью 1. Таким образом, если A имеет преимущество в приспособленности перед B, r будет больше единицы, в противном случае он будет меньше единицы. Таким образом, матрица перехода случайного процесса имеет трехдиагональную форму, а вероятности перехода равны

{\begin{aligned}P_{0,0}&=1\\P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {i}{N}}={\frac {1}{r\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {r\cdot i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {N-i}{N}}={\frac {r}{r\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {i}{N}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\P_{N,N}&=1.\end{aligned}}

В этом случае $\gamma _{i}=1/r$ является постоянным фактором для каждого состава популяции, и, таким образом, вероятность фиксации из уравнения (1) упрощается до

x_{i}={\frac {1-r^{-i}}{1-r^{-N}}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}=\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}\qquad {\text{(2)}}

где вероятность фиксации одного мутанта A в популяции, в противном случае всех B, часто представляет интерес и обозначается $ρ$ .

ожидаемое значение и дисперсию числа особей А. Также в случае отбора можно вычислить

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\\\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=p(1-p){\dfrac {(s+1)+(ps+1)^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}

где $р = ⁠ я / N ⁠ и$ знак равно 1 $р + s$ .

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы увидеть

For the expected value the calculation runs as follows

{\begin{aligned}\operatorname {E} [\Delta (1)\mid X(0)=i]&=(i-1-i)\cdot P_{i,i-1}+(i-i)\cdot P_{i,i}+(i+1-i)\cdot P_{i,i+1}\\&=-{\frac {N-i}{ri+N-i}}{\frac {i}{N}}+{\frac {ri}{ri+N-i}}{\frac {N-i}{N}}\\&=-{\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {i(N-i)}{(ri+N-i)N}}+{\frac {si(N-i)}{(ri+N-i)N}}\\&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\\\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\end{aligned}}

For the variance the calculation runs as follows, using the variance of a single step

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=\operatorname {Var} (X(t))+\operatorname {Var} (\Delta (t+1)\mid X(t)=i)\\&=0+E\left[\Delta (t+1)^{2}\mid X(t)=i\right]-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=(i-1-i)^{2}\cdot P_{i,i-1}+(i-i)^{2}\cdot P_{i,i}+(i+1-i)^{2}\cdot P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=P_{i,i-1}+P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&={\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {(N-i)i(1+s)}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\left(ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\right)^{2}\\&=p(1-p){\frac {2+s(ps+1)}{(ps+1)^{2}}}-p(1-p){\frac {ps^{2}(1-p)}{(ps+1)^{2}}}\\&=p(1-p){\dfrac {2+2ps+s+p^{2}s^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}

Скорость эволюции

В популяции, состоящей из всех особей B , один мутант A захватит всю популяцию с вероятностью

\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}.\qquad {\text{(2)}}

Если частота мутаций (переход от аллеля B к аллелю A ) в популяции равна u , то скорость, с которой один член популяции будет мутировать в A, определяется как $N \times u$ , а скорость, с которой вся популяция переходит от все B ко всем A — это частота возникновения одного мутанта A, умноженная на вероятность того, что он захватит популяцию ( вероятность фиксации ):

R=N\cdot u\cdot \rho =u\quad {\text{if}}\quad \rho ={\frac {1}{N}}.

Таким образом, если мутация нейтральна (т.е. вероятность фиксации равна всего 1/ N ), то скорость, с которой аллель возникает и захватывает популяцию, не зависит от размера популяции и равна частоте мутаций. Этот важный результат лежит в основе нейтральной теории эволюции и предполагает, что количество наблюдаемых точечных мутаций в геномах двух разных видов просто определяется скоростью мутаций, умноженной на два раза время, прошедшее с момента дивергенции . Таким образом, нейтральная теория эволюции обеспечивает молекулярные часы , при условии, что выполняются предположения, которые могут быть неверны в действительности.

См. также

Слабый выбор

Ссылки

^ Моран, ПАП (1958). «Случайные процессы в генетике». Математические труды Кембриджского философского общества . 54 (1): 60–71. дои : 10.1017/S0305004100033193 .

Дальнейшее чтение

Новак, Мартин А. (2006). Эволюционная динамика: исследование уравнений жизни . Белнап Пресс. ISBN 978-0-674-02338-3 .
Моран, Патрик Альфред Пирс (1962). Статистические процессы эволюционной теории . Оксфорд: Кларендон Пресс.

Внешние ссылки

«Эволюционная динамика на графах» .

[1] Моран, ПАП (1958). «Случайные процессы в генетике». Математические труды Кембриджского философского общества . 54 (1): 60–71. дои : 10.1017/S0305004100033193 .

[1]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Диффузия Ито Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Тропы Кадлага Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля–единицы ( Блюменталь , Борель–Кантелли , Энгельберт–Шмидт , Хьюитт–Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Ито интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теорема о представлении Скорохода Скороход пространство Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория