Неравенство Марцинкевича – Зигмунда

В математике неравенство Марцинкевича -Зигмунда , названное в честь Юзефа Марцинкевича и Антони Зигмунда , дает отношения между моментами набора независимых случайных величин . Это обобщение правила суммы дисперсий независимых случайных величин на моменты произвольного порядка. Это частный случай неравенства Буркхолдера-Дэвиса-Ганди в случае мартингалов с дискретным временем.

Формулировка неравенства

Теорема Если $\textstyle X_{i}$, $\textstyle i=1,\ldots ,n$, являются независимыми случайными величинами такими, что $\textstyle E\left(X_{i}\right)=0$ и $\textstyle E\left(\left\vert X_{i}\right\vert ^{p}\right)<+\infty$, $\textstyle 1\leq p<+\infty$, затем

$A_{p}E\left(\left(\sum _{i=1}^{n}\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)_{}^{p/2}\right)\leq E\left(\left\vert \sum _{i=1}^{n}X_{i}\right\vert ^{p}\right)\leq B_{p}E\left(\left(\sum _{i=1}^{n}\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)_{}^{p/2}\right)$

где $\textstyle A_{p}$ и $\textstyle B_{p}$ являются положительными константами, которые зависят только от $\textstyle p$ а не на основное распределение задействованных случайных величин.

Случай второго порядка

В случае $\textstyle p=2$, неравенство выполнено при $\textstyle A_{2}=B_{2}=1$, и оно сводится к известному из элементарной статистики правилу суммы дисперсий независимых случайных величин с нулевым средним значением: Если $\textstyle E\left(X_{i}\right)=0$ и $\textstyle E\left(\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)<+\infty$, затем

$\mathrm {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=E\left(\left\vert \sum _{i=1}^{n}X_{i}\right\vert ^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}E\left(X_{i}{\overline {X}}_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Var} \left(X_{i}\right).$

См. также

Несколько подобных моментных неравенств известны как неравенство Хинчина и неравенства Розенталя , а также существуют расширения для более общей симметричной статистики независимых случайных величин.