Снелл конверт

Конверт Снелла , используемый в стохастике и математических финансах , представляет собой наименьший супермартингал, управляющий стохастическим процессом . Конверт Снелла назван в честь Джеймса Лори Снелла .

Определение

Учитывая отфильтрованное вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )$ и абсолютно непрерывная вероятностная мера $\mathbb {Q} \ll \mathbb {P}$ затем адаптированный процесс $U=(U_{t})_{t\in [0,T]}$ является конвертом Снеллиуса относительно $\mathbb {Q}$ процесса $X=(X_{t})_{t\in [0,T]}$ если

1. $U$ это $\mathbb {Q}$-супермартингейл
2. $U$ доминирует $X$, то есть $U_{t}\geq X_{t}$ $\mathbb {Q}$- почти наверняка на все времена $t\in [0,T]$
3. Если $V=(V_{t})_{t\in [0,T]}$ это $\mathbb {Q}$-супермартингейл, который доминирует $X$, затем $V$ доминирует $U$.

Строительство

Учитывая (дискретное) фильтрованное вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )$ и абсолютно непрерывная вероятностная мера $\mathbb {Q} \ll \mathbb {P}$ затем конверт Снелла $(U_{n})_{n=0}^{N}$ относительно $\mathbb {Q}$ процесса $(X_{n})_{n=0}^{N}$ задается рекурсивной схемой

$U_{N}:=X_{N},$

$U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]$ для $n=N-1,...,0$

где $\lor$ — это соединение (в данном случае равное максимуму из двух случайных величин).

Приложение

• Если $X$ — это выплата по американскому опциону со скидкой в ​​конверте Снелла. $U$ затем $U_{t}$ минимальное требование к капиталу для хеджирования $X$ со времени $t$ до истечения срока годности.