Закон ноля-единицы Блюменталя

В математической теории вероятностей действует Блюменталя закон нуля-единицы . названный в честь Роберта Маккаллума Блюменталя , представляет собой утверждение о природе начала право-непрерывного процесса Феллера . В общих чертах он утверждает, что любой правый непрерывный процесс Феллера на $[0,\infty )$ начиная с детерминированной точки, имеет также детерминированное начальное движение.

Заявление

Предположим, что $X=(X_{t}:t\geq 0)$ представляет собой адаптированный непрерывный справа процесс Феллера в вероятностном пространстве. $(\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ такой, что $X_{0}$ постоянна с вероятностью единица. Позволять ${\mathcal {F}}_{t}^{X}:=\sigma (X_{s};s\leq t),{\mathcal {F}}_{t^{+}}^{X}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}^{X}$. Тогда любое событие ростковой сигма-алгебры $\Lambda \in {\mathcal {F}}_{0+}^{X}$ имеет либо $\mathbb {P} (\Lambda )=0$ или $\mathbb {P} (\Lambda )=1.$

Обобщение

Предположим, что $X=(X_{t}:t\geq 0)$ это адаптированный случайный процесс в вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ такой, что $X_{0}$ постоянна с вероятностью единица. Если $X$ обладает марковским свойством относительно фильтрации $\{{\mathcal {F}}_{t^{+}}\}_{t\geq 0}$ тогда любое событие $\Lambda \in {\mathcal {F}}_{0+}^{X}$ имеет либо $\mathbb {P} (\Lambda )=0$ или $\mathbb {P} (\Lambda )=1.$ Обратите внимание, что каждый правонепрерывный процесс Феллера в вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ обладает сильным марковским свойством относительно фильтрации $\{{\mathcal {F}}_{t^{+}}\}_{t\geq 0}$.