Процесс рождения-смерти

Процесс рождения-смерти (или процесс рождения-смерти ) представляет собой частный случай марковского процесса с непрерывным временем , где переходы состояний бывают только двух типов: «рождения», которые увеличивают переменную состояния на единицу, и «смерти», которые уменьшают состояние на единицу. Его представил Уильям Феллер . Название модели происходит от общего применения: использования таких моделей для представления текущей численности населения, где переходами являются буквальные рождения и смерти. Процессы рождения и смерти имеют множество приложений в демографии , теории массового обслуживания , проектировании производительности , эпидемиологии , биологии и других областях. Их можно использовать, например, для изучения эволюции бактерий , количества людей с заболеванием в популяции или количества покупателей в очереди в супермаркете.

Определение

При рождении процесс переходит из состояния n в состояние n + 1. При наступлении смерти процесс переходит из состояния n в состояние n − 1. Процесс определяется положительными коэффициентами рождаемости. $\{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }$ и положительные показатели смертности $\{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }$. Количество лиц, участвующих в процессе в данный момент $t$ обозначается $X(t)$. Процесс обладает марковским свойством и $P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}$ описывает, как $X(t)$ меняется во времени. Для маленьких $\triangle t>0$, функция $P_{i,j}(\triangle t)$ предполагается, что он удовлетворяет следующим свойствам:

$P_{i,i+1}(\triangle t)=\lambda _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 0,$

$P_{i,i-1}(\triangle t)=\mu _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1,$

$P_{i,i}(\triangle t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1.$

Этот процесс представлен следующим рисунком, на котором состояния процесса (т.е. количество особей в популяции) обозначены кружками, а переходы между состояниями обозначены стрелками.

Рецидивирование и мимолетность

О повторяемости и быстротечности марковских процессов см. раздел 5.3 из цепи Маркова .

Условия рецидива и транзиторности

Условия рецидивирования и мимолетности были установлены Сэмюэлем Карлином и Джеймсом МакГрегором .

Процесс рождения и смерти повторяется тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .$

Процесс рождения и смерти эргодичен тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .$

Процесс рождения и смерти является нуль-рекуррентным тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .$

Используя расширенный тест Бертрана (см. раздел 4.1.4 из «Тест отношения» ), условия повторяемости, кратковременности, эргодичности и нулевой повторяемости можно вывести в более явной форме.

Для целого числа $K\geq 1,$ позволять $\ln _{(K)}(x)$ обозначают $K$итерация т.е. натурального логарифма , $\ln _{(1)}(x)=\ln(x)$ и для любого $2\leq k\leq K$, $\ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))$.

Тогда условия повторяемости и скоротечности процесса рождения и смерти таковы.

Процесс рождения и смерти преходящ, если существуют $c>1,$ $K\geq 1$ и $n_{0}$ такой, что для всех $n>n_{0}$

${\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},$

где пустая сумма для $K=1$ предполагается равным 0.

Процесс рождения и смерти повторяется, если существуют $K\geq 1$ и $n_{0}$ такой, что для всех $n>n_{0}$

${\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.$

Более широкие классы процессов рождения и смерти, для которых можно установить условия повторяемости и быстротечности, можно найти в разделе .

Приложение

Рассмотрим одномерное случайное блуждание $S_{t},\ t=0,1,\ldots ,$ это определяется следующим образом. Позволять $S_{0}=1$, и $S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,$ где $e_{t}$ принимает значения $\pm 1$и распределение $S_{t}$ определяется следующими условиями:

${\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,$

где $\alpha _{n}$ удовлетворить условие $0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0$.

Описанное здесь случайное блуждание представляет собой дискретном времени аналог процесса рождения и смерти в (см. цепь Маркова ) с уровнями рождаемости.

$\lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},$

и уровень смертности

$\mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}$.

Итак, повторяемость или быстротечность случайного блуждания связана с повторяемостью или быстротечностью процесса рождения и смерти.

Случайное блуждание является временным, если существуют $c>1$, $K\geq 1$ и $n_{0}$ такой, что для всех $n>n_{0}$

$\alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),$

где пустая сумма для $K=1$ предполагается равным нулю.

Случайное блуждание является рекуррентным, если существуют $K\geq 1$ и $n_{0}$ такой, что для всех $n>n_{0}$

$\alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).$

Стационарное решение

Если процесс рождения и смерти эргодичен, то существуют стационарные вероятности. $\pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),$ где $p_{k}(t)$ вероятность того, что процесс рождения и смерти находится в состоянии $k$ во время $t.$ Предел существует независимо от начальных значений $p_{k}(0),$ и рассчитывается по соотношениям:

$\pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,$

$\pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.$

Эти предельные вероятности получаются из бесконечной системы дифференциальных уравнений для $p_{k}(t):$

$p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,$

и начальное состояние $\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.$

В свою очередь, последняя система дифференциальных уравнений выводится из системы разностных уравнений , описывающей динамику системы за малое время $\Delta t$. За это небольшое время $\Delta t$ только три типа переходов считаются одной смертью, или одним рождением, или ни рождением, ни смертью. Вероятность первых двух из этих переходов имеет порядок $\Delta t$. Другие переходы в течение этого небольшого интервала $\Delta t$ например, более одного рождения , или более одной смерти , или по крайней мере одно рождение и хотя бы одна смерть имеют вероятности меньшего порядка, чем $\Delta t$, и, следовательно, пренебрежимо малы при выводах. Если система находится в состоянии k , то вероятность рождения за интервал $\Delta t$ является $\lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)$, вероятность смерти $\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)$, а вероятность отсутствия рождения и отсутствия смерти равна $1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)$. Для популяционного процесса «рождение» — это переход к увеличению численности популяции на 1, а «смерть» — переход к уменьшению численности популяции на 1.

Примеры процессов рождения-смерти

Чистый процесс рождения – это процесс рождения-смерти, при котором $\mu _{i}=0$ для всех $i\geq 0$.

Чистый процесс смерти – это процесс рождения-смерти, при котором $\lambda _{i}=0$ для всех $i\geq 0$.

Модель M/M/1 и модель M/M/c , обе используемые в теории массового обслуживания , представляют собой процессы рождения и смерти, используемые для описания клиентов в бесконечной очереди.

Использование в филодинамике

Процессы рождения-смерти используются в филодинамике в качестве априорного распределения филогений , т.е. бинарного дерева, в котором события рождения соответствуют ветвям дерева, а события смерти соответствуют узлам листьев. В частности, они используются в вирусной филодинамике. понять процесс передачи и то, как число инфицированных людей меняется с течением времени.

Использование обобщенных процессов рождения и смерти в филодинамике стимулировало исследования степени, в которой уровни рождаемости и смертности могут быть определены на основе данных. Хотя модель в целом не поддается идентификации, подмножество обычно используемых моделей можно идентифицировать.

Использование в теории массового обслуживания

В теории массового обслуживания процесс рождения-смерти является наиболее фундаментальным примером модели массового обслуживания , M/M/C/K/. $\infty$ /FIFO (в полной записи Кендалла Очередь ). Это очередь с пуассоновскими поступлениями , взятая из бесконечной популяции, и C серверов с экспоненциально распределенным временем обслуживания с K местами в очереди. Несмотря на предположение о бесконечной численности населения, эта модель является хорошей моделью для различных телекоммуникационных систем.

Очередь М/М/1

Основная статья: Очередь M/M/1

M /M/1 — это очередь на одном сервере с бесконечным размером буфера. В неслучайной среде процесс рождения-смерти в моделях массового обслуживания имеет тенденцию быть долгосрочным средним значением, поэтому средняя скорость поступления определяется как $\lambda$ и среднее время обслуживания как $1/\mu$. Процесс рождения и смерти представляет собой очередь M/M/1, когда:

$\lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all }}i.\,$

Дифференциальные уравнения для вероятности того, что система находится в состоянии k в момент времени t, имеют вид

$p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,$

Чистый процесс рождения, связанный с очередью M/M/1

Чистый процесс рождения с $\lambda _{k}\equiv \lambda$ является частным случаем процесса организации очереди M/M/1. Имеем следующую систему дифференциальных уравнений :

$p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,$

В исходном состоянии $p_{0}(0)=1$ и $p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots$, решение системы есть

$p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.$

То есть (однородный) процесс Пуассона — это чистый процесс рождения.

Очередь М/М/Ц

Основная статья: Очередь M/M/c

M/M/C — это многосерверная очередь с C- серверами и бесконечным буфером. Он характеризуется следующими параметрами рождения и смерти:

$\mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,$

и

$\mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,$

с

$\lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,$

Система дифференциальных уравнений в этом случае имеет вид:

$p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,$

Чистый процесс смерти, связанный с очередью M/M/C

Чистый процесс смерти с $\mu _{k}=k\mu$ является частным случаем процесса организации очереди M/M/C. Имеем следующую систему дифференциальных уравнений :

$p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,$

$p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,$

В исходном состоянии $p_{C}(0)=1$ и $p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,$ мы получаем решение

$p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},$

представляющий вариант биномиального распределения в зависимости от временного параметра $t$ (см. Биномиальный процесс ).

Очередь М/М/1/К

— это очередь одного сервера с буфером размера K. Очередь M/M/1/ K Эта очередь находит применение в телекоммуникациях, а также в биологии, когда численность населения ограничена. В телекоммуникациях мы снова используем параметры из очереди M/M/1:

$\lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,$

$\lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,$

$\mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,$

В биологии, особенно при росте бактерий, когда популяция равна нулю, нет возможности расти таким образом.

$\lambda _{0}=0.\,$

Кроме того, если мощность представляет собой предел, при котором человек умирает из-за чрезмерной численности населения,

$\mu _{K}=0.\,$

Дифференциальные уравнения для вероятности того, что система находится в состоянии k в момент времени t, имеют вид

$p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,$

$p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,$

$p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,$

Равновесие

Говорят, что очередь находится в равновесии, если установившегося состояния вероятности $\pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\ k=0,1,\ldots ,$ существовать. Условием существования этих установившихся вероятностей в случае очереди M/M/1 является $\rho =\lambda /\mu <1$ и в случае M/M/C очереди $\rho =\lambda /(C\mu )<1$. Параметр $\rho$ обычно называется параметром нагрузки или параметром использования . Иногда ее еще называют интенсивностью движения .

На примере очереди M/M/1 уравнения устойчивого состояния имеют вид

$\lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1},\,$

$(\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}.\,$

Это можно свести к

$\lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }}k\geq 0.\,$

Итак, учитывая, что $\pi _{0}+\pi _{1}+\ldots =1$, мы получаем

$\pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.$

Двусторонний процесс рождения и смерти

Двусторонний процесс рождения и смерти определяется аналогично стандартному, с той лишь разницей, что коэффициенты рождаемости и смертности $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ определены для значений индексного параметра $i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$. После этого двусторонний процесс рождения и смерти является повторяющимся тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .$

Понятия эргодичности и нулевой повторяемости определяются аналогичным образом путем расширения соответствующих понятий стандартного процесса рождения и смерти.

См. также

• единица Эрланга
• Теория массового обслуживания
• Модели массового обслуживания
• Процесс квазирождения-смерти
• Процесс Морана

Ссылки

• Латуш, Ж.; Рамасвами, В. (1999). «Квази-процессы рождения и смерти». Введение в методы матричного анализа в стохастическом моделировании (1-е изд.). АСА СИАМ. ISBN  0-89871-425-7 .
• Новак, Массачусетс (2006). Эволюционная динамика: исследование уравнений жизни . Издательство Гарвардского университета. ISBN  0-674-02338-2 .
• Виртамо, Дж. «Процессы рождения-смерти» (PDF) . 38.3143 Теория массового обслуживания . Проверено 2 декабря 2019 г.