Гамма-процесс

Эта статья о случайном процессе. Чтобы узнать о процессе астрофизического нуклеосинтеза, см. Гамма-процесс (астрофизика) .

Также известный как (Моран-)Гамма-процесс. Гамма -процесс — случайный процесс, изучаемый в математике , статистике , теории вероятностей и стохастике . Гамма-процесс — это стохастический или случайный процесс, состоящий из независимо распределенных гамма-распределений , где $N(t)$ представляет количество событий, произошедших с момента 0 до момента времени $t$. имеет Гамма-распределение параметр формы $\gamma$ и параметр скорости $\lambda$, часто пишется как $\Gamma (\gamma ,\lambda )$. Оба $\gamma$ и $\lambda$ должно быть больше 0. Гамма-процесс часто записывается как $\Gamma (t,\gamma ,\lambda )$ где $t$ представляет собой время от 0. Этот процесс представляет собой скачкообразный возрастающий процесс Леви с мерой интенсивности $\nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x),$ за все позитивное $x$. Таким образом, скачки, размер которых лежит в интервале $[x,x+dx)$ происходят как процесс Пуассона с интенсивностью $\nu (x)\,dx.$ Параметр $\gamma$ контролирует скорость прибытия прыжков и параметр масштабирования $\lambda$ обратно контролирует размер прыжка. Предполагается, что процесс начинается со значения 0 при t = 0, что означает $N(0)=0$.  

Гамма-процесс иногда также параметризуется в терминах среднего значения ( $\mu$) и дисперсия ( $v$) прироста в единицу времени, что эквивалентно $\gamma =\mu ^{2}/v$ и $\lambda =\mu /v$.

Простое английское определение

Гамма -процесс — это процесс, который измеряет количество появлений независимых переменных с гамма-распределением за определенный промежуток времени . На изображении ниже показаны два разных гамма-процесса, включенных с момента 0 до момента 4. Красный процесс встречается чаще во временном интервале по сравнению с синим процессом, поскольку его параметр формы больше, чем синий параметр формы.

Характеристики

В этих свойствах мы используем функцию Гамма , поэтому читатель должен различать $\Gamma (\cdot )$ (гамма-функция) и $\Gamma (t;\gamma ,\lambda )$ (Гамма-процесс). Иногда мы будем сокращать этот процесс как $X_{t}\equiv \Gamma (t;\gamma ,\lambda )$.

Некоторые основные свойства гамма-процесса:

Маргинальное распределение

Маргинальное распределение гамма-процесса во времени $t$ представляет собой гамма-распределение со средним значением $\gamma t/\lambda$ и дисперсия $\gamma t/\lambda ^{2}.$

То есть распределение вероятностей $f$ случайной величины $X_{t}$ определяется плотностью $$f(x;t,\gamma ,\lambda )={\frac {\lambda ^{\gamma t}}{\Gamma (\gamma t)}}x^{\gamma t\,-\,1}e^{-\lambda x}.$$

Масштабирование

Умножение гамма-процесса на скалярную константу $\alpha$ снова представляет собой гамма-процесс с различной средней скоростью роста.

$\alpha \Gamma (t;\gamma ,\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma ,\lambda /\alpha )$

Добавление независимых процессов

Сумма двух независимых гамма-процессов снова является гамма-процессом.

$\Gamma (t;\gamma _{1},\lambda )+\Gamma (t;\gamma _{2},\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma _{1}+\gamma _{2},\lambda )$

Моменты

помогает Функция момента математикам находить ожидаемые значения, дисперсии, асимметрию и эксцесс.

$\operatorname {E} (X_{t}^{n})=\lambda ^{-n}\cdot {\frac {\Gamma (\gamma t+n)}{\Gamma (\gamma t)}},\ \quad n\geq 0,$ где $\Gamma (z)$ это гамма-функция .

Функция генерации момента

– Производящая функция момента это ожидаемое значение $\exp(tX)$ где X — случайная величина .

$\operatorname {E} {\Big (}\exp(\theta X_{t}){\Big )}=\left(1-{\frac {\theta }{\lambda }}\right)^{-\gamma t},\ \quad \theta <\lambda$

Корреляция

Корреляция отображает статистическую связь между любыми двумя гамма-процессами.

$\operatorname {Corr} (X_{s},X_{t})={\sqrt {\frac {s}{t}}},\ s<t$, для любого гамма-процесса $X(t).$

Гамма-процесс используется в качестве распределения случайных изменений во времени в дисперсионном гамма-процессе .

Литература

• «Процессы Леви и стохастическое исчисление» , Дэвид Эпплбаум, CUP 2004, ISBN   0-521-83263-2 .