Геометрический процесс

В теории вероятности , статистике и смежных областях геометрический процесс — это процесс счета, введенный Ламом в 1988 году. Это определяется как

Геометрический процесс. Дана последовательность неотрицательных случайных величин : $\{X_{k},k=1,2,\dots \}$, если они независимы и CDF $X_{k}$ дается $F(a^{k-1}x)$ для $k=1,2,\dots$, где $a$ – положительная константа, то $\{X_{k},k=1,2,\ldots \}$ называется геометрическим процессом (ГП).

GP широко применяется в технике надежности.

Ниже приведены некоторые из его расширений.

• Процесс α-серии. Дана последовательность неотрицательных случайных величин: $\{X_{k},k=1,2,\dots \}$, если они независимы и CDF ${\frac {X_{k}}{k^{a}}}$ дается $F(x)$ для $k=1,2,\dots$, где $a$ – положительная константа, то $\{X_{k},k=1,2,\ldots \}$ называется процессом α-ряда.
• Пороговый геометрический процесс. Случайный ​ процесс $\{Z_{n},n=1,2,\ldots \}$ называется пороговым геометрическим процессом (пороговым ГП), если существуют действительные числа $a_{i}>0,i=1,2,\ldots ,k$ и целые числа $\{1=M_{1}<M_{2}<\cdots <M_{k}<M_{k+1}=\infty \}$ такой, что для каждого $i=1,\ldots ,k$, $\{a_{i}^{n-M_{i}}Z_{n},M_{i}\leq n<M_{i+1}\}$ образует процесс обновления.
• Двойной геометрический процесс. Дана последовательность неотрицательных случайных величин: $\{X_{k},k=1,2,\dots \}$, если они независимы и CDF $X_{k}$ дается $F(a^{k-1}x^{h(k)})$ для $k=1,2,\dots$, где $a$ является положительной константой и $h(k)$ является функцией $k$ и параметры в $h(k)$ являются оценочными, и $h(k)>0$ для натурального числа $k$, затем $\{X_{k},k=1,2,\ldots \}$ называется дважды геометрическим процессом (ДГП).
• Полугеометрический процесс. Учитывая последовательность неотрицательных случайных величин $\{X_{k},k=1,2,\dots \}$, если $P\{X_{k}<x|X_{k-1}=x_{k-1},\dots ,X_{1}=x_{1}\}=P\{X_{k}<x|X_{k-1}=x_{k-1}\}$ и предельное распределение $X_{k}$ дается $P\{X_{k}<x\}=F_{k}(x)(\equiv F(a^{k-1}x))$, где $a$ – положительная константа, то $\{X_{k},k=1,2,\dots \}$ называется полугеометрическим процессом
• Геометрический процесс двойного отношения. Учитывая последовательность неотрицательных случайных величин $\{Z_{k}^{D},k=1,2,\dots \}$, если они независимы и CDF $Z_{k}^{D}$ дается $F_{k}^{D}(t)=1-\exp\{-\int _{0}^{t}b_{k}h(a_{k}u)du\}$ для $k=1,2,\dots$, где $a_{k}$ и $b_{k}$ являются положительными параметрами (или отношениями) и $a_{1}=b_{1}=1$. Мы называем случайный процесс геометрическим процессом двойного отношения (DRGP).