Телеграфный процесс

В теории вероятностей телеграфный процесс представляет собой без памяти с непрерывным временем стохастический процесс , который показывает два различных значения. Он моделирует пакетный шум (также называемый шумом попкорна или случайным телеграфным сигналом). Если два возможных значения, которые случайная величина, равны может принимать $c_{1}$ и $c_{2}$, то процесс можно описать следующими основными уравнениями :

$\partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})$

и

$\partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0}).$

где $\lambda _{1}$ это скорость перехода из состояния $c_{1}$ заявить $c_{2}$ и $\lambda _{2}$ это скорость перехода для выхода из состояния $c_{2}$ заявить $c_{1}$. Этот процесс также известен под названиями «процесс Каца» (в честь математика Марка Каца ), и дихотомический случайный процесс .

Решение

Основное уравнение компактно записывается в матричной форме введением вектора $\mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]$,

${\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P}$

где

$W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}$

– матрица скорости перехода . Формальное решение строится из начального условия $\mathbf {P} (0)$ (это определяет, что в $t=t_{0}$, государство есть $x$) к

$\mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)$.

Можно показать, что

$e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}$

где $I$ - единичная матрица и $\lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2$ это средняя скорость перехода. Как $t\rightarrow \infty$, решение приближается к стационарному распределению $\mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}$ данный

$\mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}$

Свойства

Знания о начальном состоянии затухают экспоненциально . Поэтому на какое-то время $t\gg (2\lambda )^{-1}$, процесс достигнет следующих стационарных значений, обозначенных индексом s :

Иметь в виду:

$\langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.$

Разница:

$\operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.$

Также можно вычислить корреляционную функцию :

$\langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.$

Приложение

Этот случайный процесс находит широкое применение при построении моделей:

• В физике свойства спиновые системы демонстрируют и перемежаемость флуоресценции дихотомические . Но особенно в экспериментах с одиночными молекулами используются распределения вероятностей с алгебраическими хвостами . вместо экспоненциального распределения, подразумеваемого во всех приведенных выше формулах,
• В финансах для описания на акции. цен
• В биологии для описания связывания и развязывания транскрипционных факторов .

См. также

• Цепь Маркова
• Список тем случайных процессов
• Случайный телеграфный сигнал