Теорема Колмогорова о непрерывности

В математике теорема о непрерывности Колмогорова — это теорема , гарантирующая, что случайный процесс , удовлетворяющий определенным ограничениям на моменты его приращений, будет непрерывным (или, точнее, будет иметь «непрерывную версию»). Приписывается советскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову .

Заявление [ править ]

Позволять $(S,d)$ — некоторое полное метрическое пространство, и пусть $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ быть случайным процессом. Предположим, что во все времена $T>0$ , существуют положительные константы $\alpha ,\beta ,K$ такой, что

\mathbb {E} [d(X_{t},X_{s})^{\alpha }]\leq K|t-s|^{1+\beta }

для всех $0\leq s,t\leq T$ . Тогда существует модификация ${\tilde {X}}$ из $X$ это непрерывный процесс, т.е. процесс ${\tilde {X}}\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ такой, что

${\tilde {X}}$ является выборочно-непрерывным ;
на каждый раз $t\geq 0$ , $\mathbb {P} (X_{t}={\tilde {X}}_{t})=1.$

Кроме того, пути ${\tilde {X}}$ локально $\gamma$ -Гельдер-непрерывный для каждого $0<\gamma <{\tfrac {\beta }{\alpha }}$ .

Пример [ править ]

В случае броуновского движения $\mathbb {R} ^{n}$ , выбор констант $\alpha =4$ , $\beta =1$ , $K=n(n+2)$ будет работать в теореме о непрерывности Колмогорова. Более того, для любого натурального числа $m$ , константы $\alpha =2m$ , $\beta =m-1$ будет работать для некоторого положительного значения $K$ это зависит от $n$ и $m$ .

См. также [ править ]

Теорема Колмогорова о продолжении

Ссылки [ править ]

Дэниел В. Струк, С.Р. Шриниваса Варадхан (1997). Многомерные диффузионные процессы . Шпрингер, Берлин. ISBN 978-3-662-22201-0 . п. 51