Модель Халла – Уайта

В финансовой математике модель Халла-Уайта представляет собой модель будущих процентных ставок . В своей наиболее общей формулировке она принадлежит к классу безарбитражных моделей, которые способны соответствовать сегодняшней временной структуре процентных ставок. Математическое описание эволюции будущих процентных ставок относительно просто перевести в дерево или решетку , поэтому производные процентные ставки , такие как бермудские свопы в модели можно оценить .

Первая модель Халла-Уайта была описана Джоном К. Халлом и Аланом Уайтом в 1990 году. Эта модель до сих пор популярна на рынке.

Модель

Однофакторная модель

Модель представляет собой краткосрочную модель . В целом динамика следующая:

dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).

Среди практиков существует некоторая неопределенность относительно того, какие именно параметры модели зависят от времени или какое имя следует применять к модели в каждом конкретном случае. Наиболее распространенное соглашение об именах следующее:

$\theta$ имеет t (временную) зависимость — модель Халла–Уайта .
$\theta$ и $\alpha$ оба зависят от времени — расширенная модель Васичека .

Двухфакторная модель

Двухфакторная модель Халла-Уайта ( Hall 2006 :657–658) содержит дополнительный член возмущения, среднее значение которого возвращается к нулю и имеет форму:

d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),

где $\displaystyle f$ - это детерминированная функция, обычно функция тождества (расширение однофакторной версии, аналитически поддающаяся анализу и с потенциально отрицательными процентными ставками), натуральный логарифм (расширение Блэка-Карасинского, не поддающееся аналитическому анализу и с положительными процентными ставками), или комбинации (пропорциональные натуральному логарифму на малых ставках и пропорциональные тождественной функции на больших ставках); и $\displaystyle u$ имеет начальное значение 0 и следует процессу:

du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)

Анализ однофакторной модели

В оставшейся части статьи мы предполагаем только $\theta$ имеет t -зависимость. Пренебрегая на мгновение стохастическим членом, заметим, что для $\alpha >0$ изменение r отрицательно, если r в настоящее время «большое» (больше, чем $\theta (t)/\alpha )$ и положителен, если текущее значение мало. То есть стохастический процесс представляет собой возвращающий среднее значение процесс Орнштейна – Уленбека, .

θ рассчитывается на основе начальной кривой доходности, описывающей текущую временную структуру процентных ставок. Обычно α остается в качестве пользовательского ввода (например, его можно оценить на основе исторических данных). σ определяется путем калибровки по набору каплетов и свопов, которыми легко торговать на рынке.

Когда $\alpha$ , $\theta$ , и $\sigma$ постоянны, лемму Ито можно использовать, чтобы доказать, что

r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),

который имеет распространение

r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),

где ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ это нормальное распределение со средним значением $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$ .

Когда $\theta (t)$ зависит от времени,

r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),

который имеет распространение

r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).

Оценка облигаций с использованием модели Халла – Уайта

Оказывается, что времени S значение T со сроком погашения дисконтной облигации имеет распределение (обратите внимание на аффинную временную структуру!)

P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),

где

B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},

A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).

Обратите внимание, что их терминальное распространение для $P(S,T)$ распространяется лог-нормально .

Производные цены

Выбрав в качестве нумератора временную S- связь (что соответствует переключению на S -форвардную меру), мы получаем из фундаментальной теоремы безарбитражного ценообразования стоимость в момент времени t производного инструмента который имеет выплату в момент S. ,

V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].

Здесь, $\mathbb {E} _{S}$ — это ожидание, принятое в отношении форвардной меры . Более того, стандартные аргументы арбитража показывают что время T форвардная цена $F_{V}(t,T)$ для выплаты в момент T, заданной V(T), должно удовлетворяться $F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)$ , таким образом

F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].

Таким образом, можно оценить многие производные финансовые инструменты V, зависящие исключительно от одной связи. $P(S,T)$ аналитически при работе в модели Халла–Уайта. Например, в случае с облигацией оферта

V(S)=(K-P(S,T))^{+}.

Потому что $P(S,T)$ имеет логнормальное распределение, общий расчет, использованный для модели Блэка – Шоулза, показывает, что

{E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),

где

d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}

и

d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.

Таким образом, сегодняшнее значение (с P (0, S умножением ) и t , установленным на 0):

P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).

Здесь $\sigma _{P}$ — стандартное отклонение (относительная волатильность) логарифмически нормального распределения для $P(S,T)$ . Довольно значительный объем алгебры показывает, что он связан с исходными параметрами через

{\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.

Обратите внимание, что это ожидание было сделано для меры S -связи, тогда как для исходного процесса Халла-Уайта мы вообще не указывали меру. Это не имеет значения: все, что имеет значение, — это волатильность, и она не зависит от меры.

Поскольку верхние/минимальные процентные ставки эквивалентны опционам «пут» и «колл» по облигациям соответственно, приведенный выше анализ показывает, что пределы и минимумы процентных ставок можно оценить аналитически в модели Халла – Уайта. Уловка Джамшидиана применима к проблеме Халла-Уайта (поскольку сегодняшняя стоимость свопа в модели Халла-Уайта является монотонной функцией сегодняшней короткой ставки). Таким образом, знание того, как устанавливать ограничения, также достаточно для ценообразования свопов. Даже если базой является сложная ставка, ориентированная на прошлое, а не (прогнозная) срочная ставка LIBOR, Турфус (2020) показывает, как эту формулу можно напрямую изменить, чтобы принять во внимание дополнительную выпуклость .

Свопы также могут быть оценены напрямую, как описано у Хенрарда (2003). Прямые реализации обычно более эффективны.

Моделирование Монте-Карло, деревья и решетки

Однако оценка таких простых инструментов, как кэпы и свопционы, полезна в первую очередь для калибровки. Реальное использование модели заключается в оценке несколько более экзотических деривативов , таких как бермудские свопы на решетке или других деривативов в мультивалютном контексте, таких как свопы с постоянным сроком погашения Quanto, как объяснено, например, в Brigo and Mercurio (2001). Можно легко выполнить эффективное и точное моделирование Монте-Карло модели Халла – Уайта с параметрами, зависящими от времени, см. Островский (2013) и (2016). Реализация точного моделирования Монте-Карло с открытым исходным кодом по мотивам Фриса (2016). ^{[ 1 ]} можно найти в finmath lib. ^{[ 2 ]}

Прогнозирование

Несмотря на то, что для ценообразования были разработаны однофакторные модели, такие как Васичек, CIR и модель Халла-Уайта, недавние исследования показали их потенциал в отношении прогнозирования. В Орландо и др. (2018, ^{[ 3 ]} 2019, ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}) была предоставлена новая методология прогнозирования будущих процентных ставок под названием CIR#. Идея, помимо превращения краткосрочной модели, используемой для ценообразования, в инструмент прогнозирования, заключается в соответствующем разделении набора данных на подгруппы в соответствии с заданным распределением. ^{[ 6 ]}). Там было показано, как указанное разделение позволяет фиксировать статистически значимые временные изменения волатильности процентных ставок. следуя указанному подходу, Орландо и др. (2021) ^{[ 7 ]}) сравнивает модель Халла-Уайта с моделью CIR с точки зрения прогнозирования и предсказания направленности процентных ставок.

См. также

Ссылки

^ Фрис, Кристиан (2016). «Краткая заметка о точной схеме стохастического моделирования модели Халла-Уайта и ее реализации» . ССРН . дои : 10.2139/ssrn.2737091 . Проверено 15 октября 2023 г.
^ "HullWhiteModel.java" . финматематическая библиотека . finmath.net . Проверено 15 октября 2023 г.
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Мишель (2018). «Новый подход к моделированию краткосрочных ставок CIR». Новые методы моделирования фиксированного дохода . Вклад в науку управления. Springer International Publishing: 35–43. дои : 10.1007/978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0 .
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (1 января 2019 г.). «Новый подход к прогнозированию рыночных процентных ставок с помощью модели CIR». Исследования в области экономики и финансов . 37 (2): 267–292. дои : 10.1108/SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 . S2CID 204424299 .
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (19 августа 2019 г.). «Калибровка процентных ставок с помощью модели CIR». Журнал рискового финансирования . 20 (4): 370–387. дои : 10.1108/JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 . S2CID 204435499 .
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению» . Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .
^ Орландо, Джузеппе; Буфало, Микеле (26 мая 2021 г.). «Прогнозирование процентных ставок: между Халлом и Уайтом и CIR# — как заставить работать однофакторную модель» . Журнал прогнозирования . 40 (8): 1566–1580. дои : 10.1002/для.2783 . ISSN 0277-6693 .

Основные ссылки

Джон Халл и Алан Уайт, «Использование деревьев процентных ставок Халла – Уайта», Journal of Derivatives , Vol. 3, № 3 (весна 1996 г.), стр. 26–36.
Джон Халл и Алан Уайт, «Численные процедуры реализации моделей временной структуры I», Journal of Derivatives , осень 1994 г., стр. 7–16.
Джон Халл и Алан Уайт, «Численные процедуры реализации моделей временной структуры II», Journal of Derivatives , зима 1994 г., стр. 37–48.
Джон Халл и Алан Уайт, «Оценка опционов на верхние и нижние процентные ставки с использованием модели Халла – Уайта» в книге «Передовые стратегии управления финансовыми рисками » , глава 4, стр. 59–67.
Джон Халл и Алан Уайт, «Однофакторные модели процентных ставок и оценка производных ценных бумаг с процентными ставками», Журнал финансового и количественного анализа , том 28, № 2, (июнь 1993 г.), стр. 235–254.
Джон Халл и Алан Уайт, «Ценообразование производных ценных бумаг с процентной ставкой», Обзор финансовых исследований , Том 3, № 4 (1990), стр. 573–592.

Другие ссылки

Халл, Джон К. (2006). «Производные процентные ставки: модели краткосрочной ставки». Опционы, фьючерсы и другие деривативы (6-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Прентис-Холл . стр. 657–658 . ISBN 0-13-149908-4 . LCCN 2005047692 . OCLC 60321487 .
Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок — теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-22149-4 .
Хенрард, Марк (2003). «Явный опцион на облигации и формула свопа в однофакторной модели Хита – Джарроу – Мортона», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 6 (1), 57–72. Препринт ССРН .
Хенрард, Марк (2009). Эффективная цена свопов в однофакторной модели Халла – Уайта, arXiv, 0901.1776v1. Препринт arXiv .
Островский, Владимир (2013). Эффективное и точное моделирование модели Халла – Уайта, Препринт SSRN.
Островский, Владимир (2016). Эффективное и точное моделирование моделей гауссовских аффинных процентных ставок., Международный журнал финансовой инженерии, Vol. 3, № 02. , Препринт ССРН.
Пушкарский, Евгений. Внедрение модели временной структуры без арбитража Халла-Уайта , дипломная работа, Центр центральноевропейских финансовых рынков
Терфус, Колин (2020). Ценообразование Caplet с учетом ретроспективных ставок., Препринт SSRN.
Летиан Ван, Модель Халла – Уайта , Группа фиксированного дохода, DTCC (подробный числовой пример и вывод)

[1] Фрис, Кристиан (2016). «Краткая заметка о точной схеме стохастического моделирования модели Халла-Уайта и ее реализации» . ССРН . дои : 10.2139/ssrn.2737091 . Проверено 15 октября 2023 г.

[2] "HullWhiteModel.java" . финматематическая библиотека . finmath.net . Проверено 15 октября 2023 г.

[3] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Мишель (2018). «Новый подход к моделированию краткосрочных ставок CIR». Новые методы моделирования фиксированного дохода . Вклад в науку управления. Springer International Publishing: 35–43. дои : 10.1007/978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0 .

[4] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (1 января 2019 г.). «Новый подход к прогнозированию рыночных процентных ставок с помощью модели CIR». Исследования в области экономики и финансов . 37 (2): 267–292. дои : 10.1108/SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 . S2CID 204424299 .

[5] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (19 августа 2019 г.). «Калибровка процентных ставок с помощью модели CIR». Журнал рискового финансирования . 20 (4): 370–387. дои : 10.1108/JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 . S2CID 204435499 .

[6] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению» . Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .

[7] Орландо, Джузеппе; Буфало, Микеле (26 мая 2021 г.). «Прогнозирование процентных ставок: между Халлом и Уайтом и CIR# — как заставить работать однофакторную модель» . Журнал прогнозирования . 40 (8): 1566–1580. дои : 10.1002/для.2783 . ISSN 0277-6693 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

v т и Рынок облигаций
Bond Debenture Fixed income
Types of bonds by issuer	Agency bond Corporate bond Senior debt Subordinated debt Distressed debt Government bond Infrastructure bond Municipal bond Global bond
Types of bonds by payout	Accrual bond Auction rate security Callable bond Commercial paper Consol Contingent convertible bond Convertible bond Exchangeable bond Extendible bond Fixed rate bond Floating rate note High-yield debt Inflation-indexed bond Inverse floating rate note Lottery bond Perpetual bond Puttable bond Reverse convertible securities Zero-coupon bond
Bond valuation	Clean price Convexity Coupon Credit spread Current yield Dirty price Duration I-spread Mortgage yield Nominal yield Option-adjusted spread Risk-free bond Weighted-average life Yield curve Yield spread Yield to maturity Z-spread
Securitized products	Asset-backed security Collateralized debt obligation Collateralized mortgage obligation Commercial mortgage-backed security Mortgage-backed security
Bond options	Callable bond Convertible bond Embedded option Exchangeable bond Extendible bond Puttable bond
Institutions	Commercial Mortgage Securities Association (CMSA) International Capital Market Association (ICMA) Securities Industry and Financial Markets Association (SIFMA)

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category