Средневзвешенная жизнь

В финансах средневзвешенный срок службы (WAL) амортизируемой ссуды или амортизируемой облигации, также называемый средним сроком службы . — это средневзвешенное значение сроков погашения основной суммы долга : это среднее время до погашения доллара основной суммы долга.

В формуле

${\text{WAL}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i},$

где:

• $P$ (общая) основная сумма,
• $P_{i}$ это погашение основной суммы долга, включенное в платеж $i$, следовательно
• ${\frac {P_{i}}{P}}$ это часть общей суммы основного долга, которая включена в платеж $i$, и
• $t_{i}$ время (в годах) от даты расчета до выплаты $i$.

При желании, $t_{i}$ можно расширить как ${\frac {1}{12}}(i+\alpha -1)$ за ежемесячную облигацию, где $\alpha$ представляет собой долю месяца между датой расчета и первой датой поступления денежных средств.

WAL классов кредитов

В кредитах, допускающих досрочное погашение , WAL не может быть рассчитан только на основе графика погашения; необходимо также сделать предположения о предоплате и поведении по умолчанию, а указанный WAL будет оценочным. WAL обычно рассчитывается на основе одной последовательности денежных потоков. Иногда смоделированный средний срок службы может быть рассчитан на основе нескольких сценариев движения денежных средств, например, на основе модели спреда с поправкой на опционы .

Связанные понятия

WAL не следует путать со следующими отдельными понятиями:

Срок действия облигации

Дюрация облигаций — это средневзвешенное время для получения дисконтированной приведенной стоимости всех денежных потоков (включая как основную сумму, так и проценты), тогда как WAL — это средневзвешенное время для получения просто основных платежей (без учета процентов и без дисконтирования). . Для погашаемого кредита с равными платежами WAL будет выше, чем продолжительность, поскольку ранние платежи взвешиваются по процентам, а более поздние платежи взвешиваются по основной сумме, и, кроме того, принимая приведенную стоимость (по продолжительности), дисконтируются более поздние платежи.

Время до погашения 50% основной суммы долга

WAL — это среднее значение , а «50% погашения основной суммы долга» — это медианное значение ; увидеть разницу между средним и медианным . Поскольку непогашенная основная сумма долга является вогнутой функцией (времени) для погашаемой ссуды с фиксированным платежом, менее половины основной суммы долга будет выплачено в WAL. Интуитивно это происходит потому, что большая часть погашения основной суммы долга происходит в конце. Формально распределение выплат имеет отрицательный перекос : небольшие выплаты основной суммы долга в начале тянут вниз WAL (среднее значение) больше, чем медиану.

Средневзвешенный срок погашения (WAM)

WAM — это среднее значение сроков погашения нескольких кредитов, а не среднее значение погашения основной суммы долга.

Приложения

WAL — это показатель, который может быть полезен при анализе кредитного риска по ценным бумагам с фиксированным доходом, учитывая, что основным кредитным риском кредита является риск потери основной суммы долга. При прочих равных условиях облигация с более длительным сроком погашения основного долга (т. е. более длинным WAL) имеет больший кредитный риск, чем облигация с более коротким WAL. В частности, WAL часто используется в качестве основы для сравнения доходности при расчете I-спреда .

WAL не следует использовать для оценки чувствительности цены облигации к колебаниям процентных ставок, поскольку WAL включает только основные денежные потоки, опуская процентные выплаты. Вместо этого следует использовать дюрацию облигации , которая включает в себя все денежные потоки.

Примеры

WAL пуловой ссуды (неамортизируемой) соответствует точному сроку погашения, поскольку основная сумма выплачивается точно в срок.

По 30-летнему погашаемому кредиту, выплачивающему равные суммы ежемесячно, можно получить следующие WAL для данных годовых процентных ставок (и соответствующих ежемесячных платежей на основной остаток в размере 100 000 долларов США, рассчитанный с помощью калькулятора амортизации и приведенных ниже формул, связывающих амортизированные платежи, общую сумму процентов и WAL):

Ставка	Оплата	Общий процент	Расчет WAL	ВАЛ
4%	$477.42	$71,871.20	$71,871.20/($100,000*4%)	17.97
8%	$733.76	$164,153.60	$164,153.60/($100,000*8%)	20.52
12%	$1,028.61	$270,299.60	$270,229.60/($100,000*12%)	22.52

Обратите внимание, что по мере увеличения процентной ставки WAL увеличивается, поскольку основные платежи становятся все более отложенными. WAL не зависит от остатка основной суммы долга, хотя выплаты и общая сумма процентов пропорциональны основной сумме долга.

Для купона со ставкой 0%, при котором основная сумма амортизируется линейно, WAL составляет ровно половину срока погашения плюс половина периода платежа, поскольку основная сумма выплачивается в задолженность (в конце периода). Таким образом, для 30-летнего кредита под 0% с ежемесячной выплатой WAL равен $15+1/24\approx 15.04$ годы.

Общий процент

WAL позволяет легко рассчитать общую сумму процентных платежей, определяемую следующим образом:

${\text{WAL}}\times r\times P,$

где r — годовая процентная ставка, а P — первоначальная основная сумма долга.

Интуитивно это можно понять так: «Средняя сумма основного долга в долларах является непогашенной для WAL, следовательно, проценты на средний доллар равны ${\text{WAL}}\times r$, и теперь один умножается на основную сумму, чтобы получить общую сумму процентных выплат».

Доказательство

Более строго результат можно получить следующим образом. Чтобы упростить изложение, предположим, что платежи производятся ежемесячно, поэтому периодическая процентная ставка равна годовой процентной ставке, разделенной на 12, а время $t_{i}=i/12$ (время в годах — номер периода в месяцах, больше 12).

Затем:

${\begin{aligned}{\text{WAL}}&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i}\\{\text{WAL}}\times P&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}t_{i}&&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\frac {i}{12}}\\{\text{WAL}}\times P\times r&=\sum _{i=1}^{n}iP_{i}{\frac {r}{12}}&&={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}iP_{i}\end{aligned}}$

Общий процент

$\sum _{i=1}^{n}Q_{i}{\frac {r}{12}}={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}Q_{i},$

где $Q_{i}$ — это основная сумма, непогашенная на начало периода i (это основная сумма, на которой i основана выплата процентов). Утверждение сводится к тому, чтобы показать, что $\sum _{i=1}^{n}iP_{i}=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}$. Обе эти величины представляют собой взвешенную по времени общую основную сумму облигации (в периодах), и это просто разные способы ее разделения: $iP_{i}$ Сумма подсчитывает, как долго остается непогашенным каждый доллар основной суммы долга (она разрезается по горизонтали ), а $Q_{i}$ подсчитывает, сколько основной суммы долга остается непогашенным в каждый момент времени (он нарезается по вертикали ).

Работая задом наперед, $Q_{n}=P_{n},Q_{n-1}=P_{n}+P_{n-1}$и т. д.: непогашенная основная сумма долга до окончания k периодов равна точно сумме следующих k выплат основной суммы долга. Основная сумма, выплаченная последним ( n -м) основным платежом, непогашена в течение всех n периодов, тогда как основная сумма, выплаченная предпоследним (( n - 1)-м) основным платежом, непогашена в течение n - 1 периодов, и поэтому вперед. Используя это, суммы можно переставить так, чтобы они были равны.

Например, если основная сумма амортизируется как $100, $80, $50 (с выплатами $20, $30, $50), то сумма, с одной стороны, будет равна $20+2\cdot 30+3\cdot 50=230$, а с другой стороны было бы $100+80+50=230$. Это показано в следующей таблице, в которой показан график амортизации, разбитый на выплаты основного долга, где каждый столбец представляет собой $Q_{i}$, и каждая строка $iP_{i}$:

230	100	80	50
1 × 20	20
2 × 30	30	30
3 × 50	50	50	50

Вычисление WAL на основе амортизированного платежа

Вышеупомянутое можно изменить: учитывая условия (основная сумма, срок погашения, ставка) и амортизированный платеж A , можно вычислить WAL, не зная графика амортизации. Общая сумма выплат составляет $An$ и общая сумма процентных платежей равна $An-P$, поэтому WAL:

${\text{WAL}}={\frac {An-P}{Pr}}$

Аналогичным образом, общая сумма процентов в процентах от основной суммы определяется выражением ${\text{WAL}}\times r$:

${\text{WAL}}\times r={\frac {An-P}{P}}$

Примечания и ссылки

• Фабоцци, Фрэнк Дж. (2000), Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом , ISBN  0-87094-985-3

См. также

• Калькулятор амортизации
• График амортизации
• Погашаемый кредит