Безрисковая облигация

— Безрисковая облигация это теоретическая облигация выплачивает проценты и основную сумму долга , которая с абсолютной уверенностью . Нормой доходности будет безрисковая процентная ставка . Это первичная безопасность, которая окупается на 1 единицу вне зависимости от состояния экономики, реализуемого в данный момент. $t+1$. Таким образом, его выигрыш одинаков независимо от того, какое состояние возникает. Таким образом, инвестор не испытывает риска, вкладывая средства в такой актив.

На практике государственные облигации финансово стабильных стран рассматриваются как безрисковые облигации, поскольку правительства могут повышать налоги или даже печатать деньги для погашения своего долга в национальной валюте.

Например, казначейские билеты США и казначейские облигации США часто считаются безрисковыми облигациями. Несмотря на то, что инвесторы в ценные бумаги Казначейства США действительно сталкиваются с небольшим кредитным риском , этот риск часто считается незначительным. Примером такого кредитного риска была Россия, которая объявила дефолт по своему внутреннему долгу во время российского финансового кризиса 1998 года .

Моделирование цены по модели Блэка-Шоулза

В финансовой литературе нередко выводят формулу Блэка-Шоулза путем введения постоянно ребалансируемого безрискового портфеля, содержащего опцион и базовые акции. В отсутствие арбитража доходность такого портфеля должна соответствовать доходности безрисковых облигаций. Это свойство приводит к дифференциальному уравнению в частных производных Блэка-Шоулза, которому удовлетворяет арбитражная цена опциона. Однако оказывается, что безрисковый портфель не удовлетворяет формальному определению стратегии самофинансирования, и, таким образом, этот способ вывода формулы Блэка-Шоулза ошибочен.

Мы предполагаем, что торговля происходит непрерывно во времени и возможно неограниченное заимствование и предоставление кредитов при одной и той же постоянной процентной ставке. Кроме того, на рынке нет трений, а это означает, что здесь нет транзакционных издержек или налогов, а также нет дискриминации в отношении коротких продаж. Другими словами, мы будем иметь дело со случаем совершенного рынка .

Предположим, что краткосрочная процентная ставка $r$ является постоянным (но не обязательно неотрицательным) в течение торгового интервала $[0,T^{*}]$. Предполагается, что стоимость безрисковой ценной бумаги постоянно увеличивается со скоростью $r$; то есть, $dB_{t}=rB_{t}~dt$. Мы принимаем обычное соглашение, согласно которому $B_{0}=1$, так что его цена равна $B_{t}=e^{rt}$ для каждого $t\in [0,T^{*}]$. Имея дело с моделью Блэка-Шоулза , мы с таким же успехом можем заменить сберегательный счет безрисковой облигацией . Облигация с нулевым купоном, срок погашения которой наступает в определенный момент $T$ ценная бумага, выплачивающая ее держателю 1 единицу наличных денег в заранее определенную дату $T$ облигации в будущем, известном как дата погашения . Позволять $B(t,T)$ держись за цену в свое время $t\in [0,T]$ облигации со сроком погашения $T$. Легко видеть, что для повторения выигрыша 1 за раз $T$ достаточно инвестировать $B_{t}/B_{T}$ единицы наличных денег в данный момент $t$ на сберегательном счете $B$. Это показывает, что в отсутствие арбитражных возможностей цена облигации удовлетворяет

$B(t,T)=e^{-r(T-t)}~~~,~~~\forall t\in [0,T]~.$

Обратите внимание, что для любого фиксированного T цена облигации решает обыкновенное дифференциальное уравнение

$dB(t,T)=rB(t,T)dt~~~,~~~B(0,T)=e^{-rT}~.$

Мы рассматриваем здесь безрисковую облигацию, что означает, что ее эмитент не нарушит свое обязательство выплатить держателю облигации номинальную стоимость на дату погашения.

Безрисковая облигация против ценной бумаги Эрроу-Дебре

Безрисковую облигацию можно воспроизвести с помощью портфеля из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре . Этот портфель точно соответствует выплате по безрисковой облигации, поскольку портфель также приносит 1 единицу независимо от того, в каком состоянии происходит ситуация. Это потому, что если бы ее цена отличалась от цены безрисковой облигации, арбитража была бы возможность в экономике . Наличие арбитражной возможности означает, что с помощью какой-либо торговой стратегии можно получить безрисковую прибыль. В этом конкретном случае, если цена портфеля ценных бумаг Эрроу-Дебре отличается от цены безрисковой облигации, то стратегия арбитража будет заключаться в покупке облигации с более низкой ценой и короткой продаже облигации с более высокой ценой. Поскольку каждый из них имеет одинаковый профиль выигрыша, эта сделка оставит нас с нулевым чистым риском (риск одного отменяет риск другого, поскольку мы купили и продали в равных количествах один и тот же профиль выигрыша). Однако мы получим прибыль, потому что покупаем по низкой цене и продаем по высокой цене. Поскольку в экономике не могут существовать арбитражные условия, цена безрисковой облигации равна цене портфеля.

Расчет цены

Расчет связан с ценной бумагой Эрроу-Дебре. Назовем цену безрисковой облигации в момент времени $t$ как $P(t,t+1)$. $t+1$ относится к тому факту, что облигация погашается в срок $t+1$. Как упоминалось ранее, безрисковая облигация может быть воспроизведена портфелем из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре, одной акции $A(1)$ и одна доля $A(2)$.

Используя формулу цены $n$ Ценные бумаги Эрроу-Дебре

$A(k)=p_{k}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}},~~~~~k=1,\dots ,n$

которое является продуктом соотношения межвременной предельной нормы замещения (отношения предельных полезностей во времени, его также называют плотностью цен состояния и ядром ценообразования ) и вероятностью наступления состояния, в котором ценная бумага Эрроу-Дебре окупается 1 ед. Стоимость портфолио просто

$P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(1))}{u^{\prime }(C_{t})}}+p_{2}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(2))}{u^{\prime }(C_{t})}}$

$P(t,t+1)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}$

Следовательно, цена безрисковой облигации — это просто ожидаемое значение , взятое с учетом меры вероятности. $\mathbb {P} =\{p_{1},p_{2}\}$, межвременной предельной нормы замещения. Процентная ставка $r$, теперь определяется с использованием обратной цены облигации.

$1+r_{t}={\frac {1}{P(t,t+1)}}$

Следовательно, мы имеем фундаментальное соотношение

${\frac {1}{1+r}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}$

который определяет процентную ставку в любой экономике.

Пример

Предположим, что вероятность возникновения состояния 1 равна 1/4, а вероятность возникновения состояния 2 равна 3/4. Также предположим, что ядро ​​ценообразования равно 0,95 для состояния 1 и 0,92 для состояния 2.

Пусть ядро ​​ценообразования обозначает как $U_{k}$ . Тогда у нас есть две ценные бумаги Эрроу-Дебре. $A(1),~A(2)$ с параметрами

$p_{1}=1/4~~,~~U_{1}=0.95~,$

$p_{2}=3/4~~,~~U_{2}=0.92~.$

Затем, используя предыдущие формулы, мы можем рассчитать цену облигации.

$P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}U_{1}+p_{2}U_{2}=1/4\cdot 0.95+3/4\cdot 0.92=0.9275~.$

Процентная ставка тогда определяется выражением

$r={\frac {1}{P(t,t+1)}}-1={\frac {1}{0.9275}}-1=7.82\%~.$

Таким образом, мы видим, что оценить облигацию и определить процентную ставку несложно, если известен набор цен Эрроу-Дебре, то есть цен ценных бумаг Эрроу-Дебре.

См. также

• Безрисковая процентная ставка
• Список тем по экономике
• Модель Блэка-Шоулза
• Стрела-Дебре безопасности