Выпуклость связи

В финансах выпуклость облигаций является мерой нелинейной зависимости цен облигаций от изменений процентных ставок и определяется как вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам ( дюрация — это первая производная). В целом, чем выше дюрация, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость облигаций — одна из самых основных и широко используемых форм выпуклости в финансах . Выпуклость была основана на работе Хон-Фей Лая и популяризирована Стэнли Диллером. ^[1]

Расчет выпуклости

Дюрация — это линейная мера или первая производная того, как меняется цена облигации в ответ на изменения процентной ставки. При изменении процентных ставок цена вряд ли будет меняться линейно, вместо этого она будет меняться в зависимости от некоторой кривой функции процентных ставок. Чем более изогнута функция цены облигации, тем более неточной является дюрация как мера чувствительности процентной ставки. ^[2]

Выпуклость — это мера кривизны или 2-й производной того, как цена облигации меняется в зависимости от процентной ставки, т.е. как изменяется продолжительность облигации при изменении процентной ставки. ^[3] В частности, предполагается, что процентная ставка постоянна на протяжении всего срока действия облигации и что изменения процентных ставок происходят равномерно. Используя эти предположения, дюрацию можно сформулировать как первую производную функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке. Тогда выпуклость будет второй производной функции цены по процентной ставке. ^[2]

Выпуклость не предполагает, что связь между стоимостью облигаций и процентными ставками является линейной. ^[4] На реальных рынках предположение о постоянных процентных ставках и даже об их изменениях неверно, и для фактической оценки облигаций необходимы более сложные модели. Однако эти упрощающие допущения позволяют быстро и легко рассчитать факторы, описывающие чувствительность цен облигаций к изменениям процентных ставок. ^[5]

Почему выпуклости облигаций могут различаться

Чувствительность цены к параллельным изменениям временной структуры процентных ставок является самой высокой у облигаций с нулевым купоном и самой низкой у амортизируемых облигаций (по которым выплаты производятся авансом). ^[6] Хотя амортизируемая облигация и облигация с нулевым купоном имеют разную чувствительность при одном и том же сроке погашения, если их окончательные сроки погашения различаются и имеют одинаковую дюрацию облигаций , тогда они будут иметь одинаковую чувствительность. ^[7] То есть на их цены в равной степени будут влиять небольшие сдвиги кривой доходности первого порядка (и параллельные) . Однако они начнут меняться на разные суммы с каждым дальнейшим параллельным сдвигом ставок из-за разных дат и сумм платежей. ^[8]

Для двух облигаций с одинаковой номинальной стоимостью, купоном и сроком погашения выпуклость может различаться в зависимости от того, в какой точке кривой ценовой доходности они расположены. ^[9]

Математическое определение

Если фиксированная плавающая процентная ставка равна r , а цена облигации равна $B$ , то выпуклость $C$ определяется как ^[10]

C={\frac {1}{B}}{\frac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.

Другой способ выразить $C$ — через модифицированную продолжительность $D$ :

{\frac {d}{dr}}B(r)=-DB.

Поэтому,

CB={\frac {d(-DB)}{dr}}=(-D)(-DB)+\left(-{\frac {dD}{dr}}\right)(B),

уход

C=D^{2}-{\frac {dD}{dr}}.

Где $D$ — модифицированная продолжительность

Как меняется срок действия облигаций при изменении процентной ставки

Вернитесь к стандартному определению модифицированной продолжительности: ^[11]

D={\frac {1}{1+r}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}

где $P (i)$ — текущая стоимость купона $i$ , а $t (i)$ — будущая дата платежа.

По мере увеличения процентной ставки приведенная стоимость более долгосрочных платежей снижается по отношению к более ранним купонам (на коэффициент дисконтирования между ранними и просроченными платежами). ^[12] Однако цена облигации также снижается при увеличении процентной ставки, но изменения текущей стоимости суммы каждого купона, умноженной на время (числитель в суммировании), больше, чем изменения в цене облигации (знаменатель в суммировании). Следовательно, увеличение $r$ должно уменьшить дюрацию (или, в случае облигаций с нулевым купоном, оставить неизменной константу дюрации). ^[13]^[14] Обратите внимание, что модифицированная длительность $D$ отличается от обычной длительности в один раз более $1 + r$ (показано выше), который также уменьшается с $r$ увеличением .

{\frac {dD}{dr}}\leq 0

Учитывая указанную выше связь между выпуклостью и длительностью, выпуклость обычных облигаций всегда должна быть положительной. ^[15]

Положительность выпуклости также может быть доказана аналитически для ценных бумаг с базовой процентной ставкой. Например, в предположении о плоской кривой доходности можно записать стоимость купонной облигации как $B(r)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ , где $C i$ обозначает купон, выплаченный в момент $t i$ . Тогда это легко увидеть

{\frac {d^{2}B}{dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{i}^{2}\geq 0

Обратите внимание, что это, наоборот, подразумевает отрицательность производной продолжительности путем дифференцирования $dB/dr=-DB$ .

Применение выпуклости

Выпуклость — это показатель управления рисками, используемый аналогично тому, как «гамма» используется в по деривативам управлении рисками ; это число, используемое для управления рыночным риском, которому подвержен портфель облигаций. Если совокупность выпуклости и продолжительности торговой книги высока, высок и риск. ^[16] Однако, если совокупная выпуклость и дюрация невелики, книга хеджируется , и деньги будут потеряны немного, даже если произойдет довольно существенное движение процентных ставок. (Параллельно кривой доходности) ^[17]
Аппроксимация второго порядка движения цен облигаций из-за изменения ставок использует выпуклость:

\Delta B=B\left[{\frac {C}{2}}(\Delta r)^{2}-D\Delta r\right].

Эффективная выпуклость

Для облигации со встроенным опционом расчет на основе доходности к погашению выпуклости (и дюрации ) не учитывает, как изменения в кривой доходности изменят денежные потоки в результате исполнения опциона . Чтобы решить эту проблему, эффективную выпуклость необходимо рассчитать численно . ^[18] Эффективная выпуклость представляет собой дискретную аппроксимацию второй производной стоимости облигации как функции процентной ставки: ^[18]

{\text{Effective convexity}}={\frac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\Delta y^{2}}}

где $V$ — стоимость облигации, рассчитанная с использованием модели ценообразования опционов , $\Delta y$ - это сумма, на которую изменяется доходность, и $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ — это значения, которые примет облигация, если доходность упадет на $y$ или поднимается на $y$ соответственно ( параллельный сдвиг ).

Эти значения обычно находятся с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности и, следовательно, фиксирующей поведение исполнения в каждый момент срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок; ^[19]^[20] см. Решетчатую модель (финансы) § Производные процентные ставки .

См. также

Ссылки

^ Диллер, Стэнли (1991), Параметрический анализ ценных бумаг с фиксированным доходом, в Даттатрея, Рави (ред.) Аналитика фиксированного дохода: современный анализ долга и моделирование оценки, Probus Publishing
^ Перейти обратно: ^а ^б Брукс, Роберт; Аттингер, Билл (1 июля 1992 г.). «Использование дюрации и выпуклости в анализе конвертируемых облигаций с правом отзыва» . Журнал финансовых аналитиков . 48 (4): 74–77. дои : 10.2469/faj.v48.n4.74 . ISSN 0015-198X .
^ Пельссер, Антон (4 февраля 2003 г.). «Математические основы коррекции выпуклости» . Количественные финансы . 3 (1). дои : 10.1088/1469-7688/3/1/306/мета . eISSN 1469-7696 . Проверено 30 сентября 2023 г.
^ Удегбунам, Рафаэль И.; Оайхенан, Хасан Э. (13 марта 2012 г.). «Процентный риск цен на акции в Нигерии: эмпирическая проверка модели продолжительности и выпуклости» . Журнал финансов развивающихся рынков . 11 (1): 93–113. дои : 10.1177/097265271101100104 . ISSN 0972-6527 .
^ Вейл, Лоуренс Фишер, Роман Л. (1982), «Как справиться с риском колебаний процентных ставок: доходы держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий *» , Продолжительность облигаций и иммунизация , Routledge, doi : 10.4324/9781315145976-11/coping -риск-колебания-процентных ставок-доходность-держатели облигаций-na%C3%AFve-оптимальные-стратегии-Лоуренс-Фишер-Роман-Вейль , ISBN 978-1-315-14597-6 , получено 2 октября 2023 г. {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Дай, Цян; Синглтон, Кеннет Дж.; Ян, Вэй (12 апреля 2007 г.). «Смены режима в модели динамической срочной структуры доходности казначейских облигаций США» . Обзор финансовых исследований . 20 (5): 1669–1706. дои : 10.1093/rfs/hhm021 . ISSN 0893-9454 .
^ Уиттингем, М. (1997). «Канадский рынок бескупонных облигаций» (PDF) . Обзор Банка Канады : 47–62.
^ Фоа, Уэсли; Ширер, Майкл (31 декабря 1997 г.). «Примечание о чувствительности к изменению формы произвольной кривой доходности с использованием дюрации ключевой ставки» . Журнал фиксированного дохода . 7 (3): 67–71. дои : 10.3905/jfi.1997.408212 . ISSN 1059-8596 .
^ Ливингстон, Майлз (1 марта 1979 г.). «Налогообложение облигаций и форма кривой доходности к погашению» . Журнал финансов . 34 (1): 189–196. дои : 10.1111/j.1540-6261.1979.tb02079.x . ISSN 0022-1082 .
^ Фонг, Х. Гиффорд; Васичек, Олдрич А. (31 июля 1991 г.). «Управление волатильностью фиксированного дохода» . Журнал управления портфелем . 17 (4): 41–46. дои : 10.3905/jpm.1991.409345 . ISSN 0095-4918 .
^ Фабоцци, Фрэнк Дж., изд. (15 сентября 2008 г.). Справочник по финансам (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470404324.hof003014 . ISBN 978-0-470-04256-4 .
^ Ши, Гэри С. (1984). «Подводные камни при сглаживании данных о временной структуре процентных ставок: равновесные модели и сплайн-аппроксимации» . Журнал финансового и количественного анализа . 19 (3): 253–269. дои : 10.2307/2331089 . ISSN 0022-1090 .
^ Гейгер, Феликс (2011), Гейгер, Феликс (редактор), «Теория временной структуры процентных ставок» , Кривая доходности и премии за финансовый риск: последствия для денежно-кредитной политики , Конспекты лекций по экономике и математическим системам, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 43–82, номер документа : 10.1007/978-3-642-21575-9_3 , ISBN. 978-3-642-21575-9 , получено 6 ноября 2023 г.
^ Свищук, Анатолий (4 января 2009 г.). «Производные процентные ставки на основе сборов: изменение метода времени и PIDE» (PDF) . Эконометрика: модели с одним уравнением, электронный журнал . doi : 10.2139/ssrn.1322532 – через SSRN.
^ Грантье, Брюс Дж. (1 ноября 1988 г.). «Выпуклость и эффективность соединения: чем Бентер лучше» . Журнал финансовых аналитиков . 44 (6): 79–81. дои : 10.2469/faj.v44.n6.79 . ISSN 0015-198X .
^ Фонг, Х. Гиффорд; Васичек, Олдрич А. (31 июля 1991 г.). «Управление волатильностью фиксированного дохода» . Журнал управления портфелем . 17 (4): 41–46. дои : 10.3905/jpm.1991.409345 . ISSN 0095-4918 .
^ Смит, Линда; Сварт, Барбара (31 января 2006 г.). «Расчет цены выпуклости облигаций» . Журнал управления портфелем . 32 (2): 99–106. дои : 10.3905/jpm.2006.611809 . ISSN 0095-4918 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Фабоцци, Фрэнк Дж., изд. (15 сентября 2008 г.). Справочник по финансам (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470404324.hof003014 . ISBN 978-0-470-04256-4 .
^ Чоудри, Мурад (01 января 2004 г.), Чоудри, Мурад (редактор), «3 - Динамика цен на активы» , Расширенный анализ фиксированного дохода , Оксфорд: Баттерворт-Хейнеманн, стр. 107-111. 35–54, номер домена : 10.1016/b978-075066263-5.50005-7 , ISBN. 978-0-7506-6263-5 , получено 6 ноября 2023 г.
^ Милтерсен, Кристиан Р.; Шварц, Эдуардо С. (1998). «Ценообразование опционов на товарные фьючерсы со стохастическими временными структурами удобной доходности и процентных ставок» . Журнал финансового и количественного анализа . 33 (1): 33–59. дои : 10.2307/2331377 . ISSN 0022-1090 .

Дальнейшее чтение

Фрэнк Фабоцци , Справочник по ценным бумагам с фиксированной доходностью, 7-е изд. , Нью-Йорк: МакГроу Хилл, 2005.
Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999). «Основы длительности и выпуклости». Дюрация, выпуклость и другие меры риска облигаций . Серия Фрэнка Дж. Фабоцци. Том. 58. Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781883249632 .
Мэйл, Январь (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы для ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей , том. 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN 1-882936-01-9 . Стандартный справочник конвенций, применимых к ценным бумагам США.

Внешние ссылки

[1] Диллер, Стэнли (1991), Параметрический анализ ценных бумаг с фиксированным доходом, в Даттатрея, Рави (ред.) Аналитика фиксированного дохода: современный анализ долга и моделирование оценки, Probus Publishing

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б Брукс, Роберт; Аттингер, Билл (1 июля 1992 г.). «Использование дюрации и выпуклости в анализе конвертируемых облигаций с правом отзыва» . Журнал финансовых аналитиков . 48 (4): 74–77. дои : 10.2469/faj.v48.n4.74 . ISSN 0015-198X .

[3] Пельссер, Антон (4 февраля 2003 г.). «Математические основы коррекции выпуклости» . Количественные финансы . 3 (1). дои : 10.1088/1469-7688/3/1/306/мета . eISSN 1469-7696 . Проверено 30 сентября 2023 г.

[4] Удегбунам, Рафаэль И.; Оайхенан, Хасан Э. (13 марта 2012 г.). «Процентный риск цен на акции в Нигерии: эмпирическая проверка модели продолжительности и выпуклости» . Журнал финансов развивающихся рынков . 11 (1): 93–113. дои : 10.1177/097265271101100104 . ISSN 0972-6527 .

[5] Вейл, Лоуренс Фишер, Роман Л. (1982), «Как справиться с риском колебаний процентных ставок: доходы держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий *» , Продолжительность облигаций и иммунизация , Routledge, doi : 10.4324/9781315145976-11/coping -риск-колебания-процентных ставок-доходность-держатели облигаций-na%C3%AFve-оптимальные-стратегии-Лоуренс-Фишер-Роман-Вейль , ISBN 978-1-315-14597-6 , получено 2 октября 2023 г. {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[6] Дай, Цян; Синглтон, Кеннет Дж.; Ян, Вэй (12 апреля 2007 г.). «Смены режима в модели динамической срочной структуры доходности казначейских облигаций США» . Обзор финансовых исследований . 20 (5): 1669–1706. дои : 10.1093/rfs/hhm021 . ISSN 0893-9454 .

[7] Уиттингем, М. (1997). «Канадский рынок бескупонных облигаций» (PDF) . Обзор Банка Канады : 47–62.

[8] Фоа, Уэсли; Ширер, Майкл (31 декабря 1997 г.). «Примечание о чувствительности к изменению формы произвольной кривой доходности с использованием дюрации ключевой ставки» . Журнал фиксированного дохода . 7 (3): 67–71. дои : 10.3905/jfi.1997.408212 . ISSN 1059-8596 .

[9] Ливингстон, Майлз (1 марта 1979 г.). «Налогообложение облигаций и форма кривой доходности к погашению» . Журнал финансов . 34 (1): 189–196. дои : 10.1111/j.1540-6261.1979.tb02079.x . ISSN 0022-1082 .

[10] Фонг, Х. Гиффорд; Васичек, Олдрич А. (31 июля 1991 г.). «Управление волатильностью фиксированного дохода» . Журнал управления портфелем . 17 (4): 41–46. дои : 10.3905/jpm.1991.409345 . ISSN 0095-4918 .

[11] Фабоцци, Фрэнк Дж., изд. (15 сентября 2008 г.). Справочник по финансам (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470404324.hof003014 . ISBN 978-0-470-04256-4 .

[12] Ши, Гэри С. (1984). «Подводные камни при сглаживании данных о временной структуре процентных ставок: равновесные модели и сплайн-аппроксимации» . Журнал финансового и количественного анализа . 19 (3): 253–269. дои : 10.2307/2331089 . ISSN 0022-1090 .

[13] Гейгер, Феликс (2011), Гейгер, Феликс (редактор), «Теория временной структуры процентных ставок» , Кривая доходности и премии за финансовый риск: последствия для денежно-кредитной политики , Конспекты лекций по экономике и математическим системам, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 43–82, номер документа : 10.1007/978-3-642-21575-9_3 , ISBN. 978-3-642-21575-9 , получено 6 ноября 2023 г.

[14] Свищук, Анатолий (4 января 2009 г.). «Производные процентные ставки на основе сборов: изменение метода времени и PIDE» (PDF) . Эконометрика: модели с одним уравнением, электронный журнал . doi : 10.2139/ssrn.1322532 – через SSRN.

[15] Грантье, Брюс Дж. (1 ноября 1988 г.). «Выпуклость и эффективность соединения: чем Бентер лучше» . Журнал финансовых аналитиков . 44 (6): 79–81. дои : 10.2469/faj.v44.n6.79 . ISSN 0015-198X .

[16] Фонг, Х. Гиффорд; Васичек, Олдрич А. (31 июля 1991 г.). «Управление волатильностью фиксированного дохода» . Журнал управления портфелем . 17 (4): 41–46. дои : 10.3905/jpm.1991.409345 . ISSN 0095-4918 .

[17] Смит, Линда; Сварт, Барбара (31 января 2006 г.). «Расчет цены выпуклости облигаций» . Журнал управления портфелем . 32 (2): 99–106. дои : 10.3905/jpm.2006.611809 . ISSN 0095-4918 .

[:1-18] Перейти обратно: ^а ^б Фабоцци, Фрэнк Дж., изд. (15 сентября 2008 г.). Справочник по финансам (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470404324.hof003014 . ISBN 978-0-470-04256-4 .

[19] Чоудри, Мурад (01 января 2004 г.), Чоудри, Мурад (редактор), «3 - Динамика цен на активы» , Расширенный анализ фиксированного дохода , Оксфорд: Баттерворт-Хейнеманн, стр. 107-111. 35–54, номер домена : 10.1016/b978-075066263-5.50005-7 , ISBN. 978-0-7506-6263-5 , получено 6 ноября 2023 г.

[20] Милтерсен, Кристиан Р.; Шварц, Эдуардо С. (1998). «Ценообразование опционов на товарные фьючерсы со стохастическими временными структурами удобной доходности и процентных ставок» . Журнал финансового и количественного анализа . 33 (1): 33–59. дои : 10.2307/2331377 . ISSN 0022-1090 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

v т и Рынок облигаций
Bond Debenture Fixed income
Types of bonds by issuer	Agency bond Corporate bond Senior debt Subordinated debt Distressed debt Government bond Infrastructure bond Municipal bond Global bond
Types of bonds by payout	Accrual bond Auction rate security Callable bond Commercial paper Consol Contingent convertible bond Convertible bond Exchangeable bond Extendible bond Fixed rate bond Floating rate note High-yield debt Inflation-indexed bond Inverse floating rate note Lottery bond Perpetual bond Puttable bond Reverse convertible securities Zero-coupon bond
Bond valuation	Clean price Convexity Coupon Credit spread Current yield Dirty price Duration I-spread Mortgage yield Nominal yield Option-adjusted spread Risk-free bond Weighted-average life Yield curve Yield spread Yield to maturity Z-spread
Securitized products	Asset-backed security Collateralized debt obligation Collateralized mortgage obligation Commercial mortgage-backed security Mortgage-backed security
Bond options	Callable bond Convertible bond Embedded option Exchangeable bond Extendible bond Puttable bond
Institutions	Commercial Mortgage Securities Association (CMSA) International Capital Market Association (ICMA) Securities Industry and Financial Markets Association (SIFMA)

v т и Управление инвестициями
Investment fund structures	Common contractual fund (CCF) Exchange-traded fund (ETF) Fonds commun de placement (FCP) Fund of funds Index fund Investment trust Hedge fund Labour-sponsored venture capital corporation Listed investment company Mutual fund Offshore fund Open-ended fund company Open-ended investment company Pension fund Private-equity fund Qualifying investor alternative investment fund (QIAIF) Real estate investment trust (REIT) Royalty trust Short-term investment fund SICAV Split capital investment trust Tax transparent fund Umbrella fund Unit investment trust Unit trust Unitised insurance fund
Investment styles	Active / passive management Hedge Funds Impact investing Manager of managers Social finance Socially responsible investing Social trading Thematic investing Value / growth investing
Terminology	Closed-end fund Fund governance Institutional investor Net asset value Open-end fund Performance fee
Theory	Arbitrage pricing theory Efficient-market hypothesis Fixed income (Duration, Convexity) Martingale pricing Modern portfolio theory Noisy market hypothesis Yield curve
Related topics	Alternative investment Commodity pool operator Robo-advisor Returns-based style analysis Traditional investments UCITS
Category List