Цены на Мартингейл

Мартингейл ценообразование – это подход к ценообразованию, основанный на понятиях мартингейла и нейтральности риска . Подход к ценообразованию по мартингейлу является краеугольным камнем современных количественных финансов и может применяться к различным деривативным контрактам, например, опционам , фьючерсам , процентным деривативам , кредитным деривативам и т. д.

В отличие от подхода PDE к ценообразованию, формулы ценообразования мартингейла имеют форму ожиданий, которые можно эффективно решить численно с использованием метода Монте-Карло . Таким образом, ценообразование по мартингейлу является предпочтительным при оценке крупноразмерных контрактов, таких как корзина опционов. С другой стороны, оценка контрактов в американском стиле затруднительна и требует дискретизации проблемы (чтобы сделать ее похожей на бермудский опцион ), и только в 2001 году Ф.А. Лонгстафф и Э.С. Шварц разработали практический метод Монте-Карло для оценки американских опционов.

теории

Предположим, что состояние рынка может быть представлено отфильтрованным вероятностным пространством : $(\Omega ,({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},{\tilde {\mathbb {P} }})$. Позволять $\{S(t)\}_{t\in [0,T]}$ быть стохастическим ценовым процессом в этом пространстве. Можно оценить производную ценную бумагу, $V(t,S(t))$ в соответствии с философией отсутствия арбитража, поскольку,

$D(t)V(t,S(t))={\tilde {\mathbb {E} }}[D(T)V(T,S(T))|{\mathcal {F}}_{t}],\qquad dD(t)=-r(t)D(t)\ dt$

Где ${\tilde {\mathbb {P} }}$ является нейтральной к риску мерой .

$(r(t))_{t\in [0,T]}$ это ${\mathcal {F}}_{t}$-измеримый (безрисковый, возможно, стохастический) процесс процентных ставок.

Это достигается за счет почти точного воспроизведения времени производной. $T$ выплаты с использованием только базовых ценных бумаг и безрискового денежного рынка (MMA). Эти базовые активы имеют наблюдаемые и известные цены.В частности, строится процесс портфолио. $\{X(t)\}_{t\in [0,T]}$ в непрерывном времени, где он держит $\Delta (t)$ акций базовой акции в каждый момент времени $t$, и $X(t)-\Delta (t)S(t)$ наличные, зарабатывающие по безрисковой ставке $r(t)$. Портфель подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению

$dX(t)=\Delta (t)\ dS(t)+r(t)(X(t)-\Delta (t)S(t))\ dt$

Затем можно попытаться применить теорему Гирсанова, сначала вычислив ${\frac {d{\tilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}$; то есть производная Радона – Никодима по отношению к наблюдаемому рыночному распределению вероятностей. Это гарантирует, что процесс репликации портфеля со скидкой является мартингейлом в нейтральных к риску условиях.

Если такой процесс $\Delta (t)$ могут быть четко определены и построены, тогда выбирая $V(0,S(0))=X(0)$ приведет к ${\tilde {\mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1$, из чего сразу следует, что это происходит $\mathbb {P}$- почти наверняка , поскольку эти две меры эквивалентны.

См. также

• Броуновская модель финансовых рынков
• Мартингейл (теория вероятностей)