Броуновская модель финансовых рынков

Модели броуновского движения для финансовых рынков основаны на работах Роберта К. Мертона и Пола А. Самуэльсона и являются расширением однопериодных рыночных моделей Гарольда Марковица и Уильяма Ф. Шарпа и касаются определения концепций финансового активы и рынки , портфели , доходы и богатство с точки зрения непрерывных стохастических процессов .

Согласно этой модели, цены на эти активы постоянно изменяются во времени и управляются процессами броуновского движения. Эта модель требует допущения о совершенно делимых активах и свободном рынке (т. е. о том, что ни при покупке, ни при продаже не возникает никаких трансакционных издержек). Другое предположение заключается в том, что цены на активы не имеют скачков, то есть на рынке нет сюрпризов. Это последнее предположение устраняется в моделях скачкообразной диффузии .

Процессы финансового рынка

Рассмотрим финансовый рынок, состоящий из $N+1$ финансовые активы, где один из этих активов, называемый облигациями или денежным рынком , безрисков , а остальные $N$ активы, называемые акциями , являются рискованными.

Определение

определяется Финансовый рынок как ${\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))$ который удовлетворяет следующему:

1. Вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$.
2. Временной интервал $[0,T]$.
3. А $D$-мерный броуновский процесс $\mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',$ где $\;0\leq t\leq T$ адаптирован к расширенной фильтрации $\{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}$.
4. Измеримый процесс безрисковых ставок денежного рынка $r(t)\in L_{1}[0,T]$.
5. Процесс измеримой средней доходности $\mathbf {b} :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]$.
6. Процесс измеримой дивидендной доходности $\mathbf {\delta } :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]$.
7. Измеримый процесс волатильности $\mathbf {\sigma } :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N\times D}\rightarrow \mathbb {R}$, такой, что $\sum _{n=1}^{N}\sum _{d=1}^{D}\int _{0}^{T}\sigma _{n,d}^{2}(s)ds<\infty$.
8. Измеримая конечная вариация, сингулярно непрерывная стохастическая $A(t)$.
9. Начальные условия, заданные $\mathbf {S} (0)=(S_{0}(0),\ldots S_{N}(0))'$.

Расширенная фильтрация

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},p)$ быть вероятностным пространством , а $\mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',\;0\leq t\leq T$ бытьD-мерный стохастический процесс броуновского движения с естественной фильтрацией :

${\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\triangleq \sigma \left(\{\mathbf {W} (s);\;0\leq s\leq t\}\right),\quad \forall t\in [0,T].$

Если ${\mathcal {N}}$ являются мерой 0 (т.е. нулевой примера $P$) подмножества ${\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)$, затем определите фильтрация расширенная :

${\mathcal {F}}(t)\triangleq \sigma \left({\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\cup {\mathcal {N}}\right),\quad \forall t\in [0,T]$

Разница между $\{{\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t);\;0\leq t\leq T\}$ и $\{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}$ в том, чтопоследний является непрерывным слева в том смысле, что:

${\mathcal {F}}(t)=\sigma \left(\bigcup _{0\leq s<t}{\mathcal {F}}(s)\right),$

и непрерывный справа такой, что:

${\mathcal {F}}(t)=\bigcap _{t<s\leq T}{\mathcal {F}}(s),$

тогда как первый непрерывен только слева.

Бонд

Акция облигации (денежный рынок) имеет цену $S_{0}(t)>0$ во время $t$ с $S_{0}(0)=1$, является непрерывным, $\{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}$ адаптирован и имеет конечную вариацию . Поскольку он имеет конечную вариацию, его можно разложить на абсолютно непрерывную часть. $S_{0}^{a}(t)$ и сингулярно непрерывная часть $S_{0}^{s}(t)$, по теореме Лебега о разложении . Определять:

$r(t)\triangleq {\frac {1}{S_{0}(t)}}{\frac {d}{dt}}S_{0}^{a}(t),$ и

$A(t)\triangleq \int _{0}^{t}{\frac {1}{S_{0}(s)}}dS_{0}^{s}(s),$

в результате SDE :

$dS_{0}(t)=S_{0}(t)[r(t)dt+dA(t)],\quad \forall 0\leq t\leq T,$

что дает:

$S_{0}(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T.$

Таким образом, легко видеть, что если $S_{0}(t)$ абсолютно непрерывен (т. $A(\cdot )=0$), то цена облигации меняется подобно стоимости безрискового сберегательного счета с мгновенной процентной ставкой. $r(t)$, который является случайным, зависящим от времени и ${\mathcal {F}}(t)$ измеримый.

Акции

Цены на акции моделируются аналогично ценам на облигации, за исключением случайного колеблющегося компонента (называемого волатильностью ). В качестве премии за риск, возникающий в результате этих случайных колебаний, средняя доходность акций выше, чем доходность облигаций.

Позволять $S_{1}(t)\ldots S_{N}(t)$ быть строго положительными ценами за акцию $N$ запасы, которые представляют собой непрерывные случайные процессы, удовлетворяющие:

$dS_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.$

Здесь, $\sigma _{n,d}(t),\;d=1\ldots D$ дает волатильность $n$-й запас, в то время как $b_{n}(t)$ это его средняя норма прибыли.

Чтобы обеспечить сценарий ценообразования без арбитража , $A(t)$ должно быть таким, как определено выше. Решение этой проблемы:

$S_{n}(t)=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N,$

и дисконтированные цены акций:

${\frac {S_{n}(t)}{S_{0}(t)}}=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-r(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.$

Обратите внимание, что вклад из-за скачков в цене облигации $A(t)$ в этом уравнении не фигурирует.

Ставка дивидендов

Каждая акция может иметь связанный дивидендов. процесс ставки $\delta _{n}(t)$ определяющая ставку выплаты дивидендов на единицу цены акции на данный момент $t$. Учет этого в модели дает доходности процесс $Y_{n}(t)$:

$dY_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)+\delta _{n}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.$

Портфель и

Определение

Рассмотрим финансовый рынок ${\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))$.

Процесс создания портфолио $(\pi _{0},\pi _{1},\ldots \pi _{N})$ для этого рынка является ${\mathcal {F}}(t)$ измеримый, $\mathbb {R} ^{N+1}$ ценный процесс, такой, что:

$\int _{0}^{T}|\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)|\left[|r(t)|dt+dA(t)\right]<\infty$ , почти наверняка

$\int _{0}^{T}|\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)[b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)]|dt<\infty$, почти наверняка, и

$\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)|^{2}dt<\infty$, почти наверняка.

Процесс получения прибыли для этого портфеля:

$G(t)\triangleq \int _{0}^{t}\left[\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)\right]\left(r(s)ds+dA(s)\right)+\int _{0}^{t}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)\right)\right]dt+\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)dW_{d}(s)\quad 0\leq t\leq T$

Мы говорим, что портфель является самофинансируемым , если:

$G(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)$.

Оказывается, что для самофинансируемого портфеля подходящее значение $\pi _{0}$ определяется из $\pi =(\pi _{1},\ldots \pi _{N})$ и поэтому иногда $\pi$ называется портфельным процессом. Также, $\pi _{0}<0$ подразумевает заимствование денег на денежном рынке, в то время как $\pi _{n}<0$ подразумевает открытие короткой позиции по акции.

Термин $b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)$ в СДУ $G(t)$ это процесс премии за риск , и это компенсация, полученная в обмен на инвестирование в $n$-й запас.

Мотивация

Учитывайте временные интервалы $0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{M}=T$, и пусть $\nu _{n}(t_{m})$ быть числом долей актива $n=0\ldots N$, хранящиеся в портфеле в течение интервала времени $[t_{m},t_{m+1}\;m=0\ldots M-1$. Чтобы избежать случаев инсайдерской торговли (т.е. предвидения будущего), необходимо, чтобы $\nu _{n}(t_{m})$ является ${\mathcal {F}}(t_{m})$ измеримый.

Следовательно, дополнительная прибыль от такого портфеля на каждом торговом интервале равна:

$G(0)=0,$

$G(t_{m+1})-G(t_{m})=\sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})[Y_{n}(t_{m+1})-Y_{n}(t_{m})],\quad m=0\ldots M-1,$

и $G(t_{m})$ это общий выигрыш с течением времени $[0,t_{m}]$, а общая стоимость портфеля равна $\sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})S_{n}(t_{m})$.

Определять $\pi _{n}(t)\triangleq \nu _{n}(t)$, позвольте временному разделу обнулиться и замените $Y(t)$ как определено ранее, чтобы получить соответствующий SDE для процесса выигрыша. Здесь $\pi _{n}(t)$ обозначает сумму в долларах, вложенную в актив $n$ во время $t$, а не количество принадлежащих акций.

богатства

Определение

Учитывая финансовый рынок ${\mathcal {M}}$, то процесс накопленного дохода $\Gamma (t)\;0\leq t\leq T$ является семимартингалом и представляет собой доход, накопленный с течением времени. $[0,t]$, за счет источников, отличных от инвестиций в $N+1$ активы финансового рынка.

Процесс богатства $X(t)$ тогда определяется как:

$X(t)\triangleq G(t)+\Gamma (t)$

и представляет собой общее богатство инвестора в данный момент $0\leq t\leq T$. Говорят, что портфолио $\Gamma (t)$-финансируется, если:

$X(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t).$

Соответствующая СДУ для процесса богатства посредством соответствующих замен принимает вид:

$dX(t)=d\Gamma (t)+X(t)\left[r(t)dt+dA(t)\right]+\sum _{n=1}^{N}\left[\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\delta _{n}(t)-r(t)\right)\right]+\sum _{d=1}^{D}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\sigma _{n,d}(t)\right]dW_{d}(t)$.

Обратите внимание, что и в этом случае значение $\pi _{0}$ можно определить из $\pi _{n},\;n=1\ldots N$.

рынки

Стандартная теория математических финансов ограничивается жизнеспособными финансовыми рынками, то есть теми, на которых нет возможностей для арбитража . Если такие возможности существуют, это подразумевает возможность получения сколь угодно большой безрисковой прибыли.

Определение

На финансовом рынке ${\mathcal {M}}$, процесс самофинансируемого портфеля $\pi (t)$ считается арбитражной возможностью , если связанный с этим процесс получения прибыли $G(T)\geq 0$, почти наверняка и $P[G(T)>0]>0$ строго. Рынок ${\mathcal {M}}$ в котором такой портфель не существует, называется жизнеспособным .

Последствия

На жизнеспособном рынке ${\mathcal {M}}$, существует ${\mathcal {F}}(t)$ адаптированный процесс $\theta :[0,T]\times \mathbb {R} ^{D}\rightarrow \mathbb {R}$ такое, что почти для каждого $t\in [0,T]$:

$b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)=\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)\theta _{d}(t)$.

Этот $\theta$ называется рыночной ценой риска и связывает премию за $n$- акция с ее волатильностью $\sigma _{n,\cdot }$.

Обратно, если существует D-мерный процесс $\theta (t)$ так, чтобы он удовлетворял вышеуказанному требованию, и:

$\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty$

$\mathbb {E} \left[\exp \left\{-\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}\right]=1$,

тогда рынок жизнеспособен.

Кроме того, жизнеспособный рынок ${\mathcal {M}}$ может иметь только один денежный рынок (облигации) и, следовательно, только одну безрисковую ставку. Следовательно, если $n$-я акция не влечет за собой никакого риска (т.е. $\sigma _{n,d}=0,\;d=1\ldots D$) и не выплачивает дивиденды (т.е. $\delta _{n}(t)=0$), то его норма доходности равна ставке денежного рынка (т.е. $b_{n}(t)=r(t)$) и его цена соответствует цене облигации (т.е. $S_{n}(t)=S_{n}(0)S_{0}(t)$).

финансовый

Определение

Финансовый рынок ${\mathcal {M}}$ называется стандартным, если:

(i) Это жизнеспособно.

(ii) Количество акций $N$ не больше размерности $D$ лежащего в основе процесса броуновского движения $\mathbf {W} (t)$.

(iii) Рыночная цена процесса риска $\theta$ удовлетворяет:

$\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty$, почти наверняка.

(iv) Позитивный процесс $Z_{0}(t)=\exp \left\{-\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}$ это мартингейл .

Комментарии

В случае, если количество акций $N$ больше, чем размерность $D$, в нарушение пункта (ii), из линейной алгебры видно, что существуют $N-D$ акции, волатильность которых (заданная вектором $(\sigma _{n,1}\ldots \sigma _{n,D})$) представляют собой линейную комбинацию волатильностей $D$ другие акции (потому что ранг $\sigma$ является $D$). Таким образом, $N$ акции можно заменить на $D$ эквивалентные взаимные фонды.

Стандартная мера мартингала $P_{0}$ на ${\mathcal {F}}(T)$ для стандартного рынка определяется как:

$P_{0}(A)\triangleq \mathbb {E} [Z_{0}(T)\mathbf {1} _{A}],\quad \forall A\in {\mathcal {F}}(T)$.

Обратите внимание, что $P$ и $P_{0}$ друг абсолютно непрерывны относительно друга, т. е. эквивалентны. Также по Гирсанова теореме

$\mathbf {W} _{0}(t)\triangleq \mathbf {W} (t)+\int _{0}^{t}\theta (s)ds$,

это $D$-мерный процесс броуновского движения при фильтрации $\{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}$ относительно $P_{0}$.

финансовые

Полноценный финансовый рынок — это рынок, который позволяет эффективно хеджировать риски, присущие любой инвестиционной стратегии.

Определение

Позволять ${\mathcal {M}}$ быть стандартным финансовым рынком, и $B$ быть ${\mathcal {F}}(T)$-измеримая случайная величина, такая что:

$P_{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}>-\infty \right]=1$.

$x\triangleq \mathbb {E} _{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}\right]<\infty$,

Рынок ${\mathcal {M}}$ называется полным, если каждое такое $B$ является финансируемым , т.е. если существует $x$-финансируемый портфельный процесс $(\pi _{n}(t);\;n=1\ldots N)$, такой, что связанный с ним процесс богатства $X(t)$ удовлетворяет

$X(t)=B$, почти наверняка.

Мотивация

Если конкретная инвестиционная стратегия требует оплаты $B$ во время $T$, сумма которого на данный момент неизвестна $t=0$, то консервативной стратегией было бы отложить сумму $x=\sup _{\omega }B(\omega )$ чтобы покрыть оплату. Однако на полноценном рынке можно отложить меньший капитал (т. $x$) и вложить их так, чтобы со временем $T$ он вырос до размеров $B$.

Следствие

Стандартный финансовый рынок ${\mathcal {M}}$ полно тогда и только тогда, когда $N=D$и $N\times D$ процесс волатильности $\sigma (t)$ несингулярен почти для каждого $t\in [0,T]$, относительно меры Лебега .

См. также

• Модель Блэка – Шоулза
• Цены на Мартингейл
• Математические финансы
• Метод Монте-Карло

Ссылки

Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1998). Методы математических финансов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94839-2 .

Корн, Ральф; Корн, Эльке (2001). Ценообразование опционов и оптимизация портфеля: современные методы финансовой математики . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2123-7 .

Мертон, Колорадо (1 августа 1969 г.). «Выбор портфеля на протяжении всего срока службы в условиях неопределенности: случай непрерывного времени» (PDF) . Обзор экономики и статистики . 51 (3): 247–257. дои : 10.2307/1926560 . ISSN   0034-6535 . JSTOR   1926560 . S2CID   8863885 . Архивировано из оригинала (PDF) 12 ноября 2019 года.

Мертон, Р.К. (1970). «Оптимальное потребление и правила портфеля в модели непрерывного времени». Журнал экономической теории . 3 (4): 373–413. дои : 10.1016/0022-0531(71)90038-x . hdl : 1721.1/63980 .