Портфель самофинансирования

В финансовой математике самофинансируемый портфель — это портфель, обладающий особенностью, которая при отсутствии экзогенное вливание или вывод денег, покупка нового актива должна финансироваться за счет продажи старого. ^{[ нужна ссылка ]} Эта концепция используется, например, для определения допустимых стратегий и репликации портфелей , причем последнее имеет основополагающее значение для безарбитражного ценообразования деривативов .

Математическое определение

Дискретное время

Предположим, нам дано дискретное вероятностное пространство с фильтрацией. $(\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0}^{T},P)$ , и пусть $K_{t}$ быть конусом платежеспособности (с трансакционными издержками или без них ) в момент времени t для рынка. Обозначим через $L_{d}^{p}(K_{t})=\{X\in L_{d}^{p}({\mathcal {F}}_{T}):X\in K_{t}\;P-a.s.\}$ . Тогда портфолио $(H_{t})_{t=0}^{T}$ (в физических единицах, т.е. количестве каждой акции) является самофинансируемым (с торговлей только в течение ограниченного набора периодов времени), если

для всех

t\in \{0,1,\dots ,T\}

у нас есть это

H_{t}-H_{t-1}\in -K_{t}\;P-a.s.

с соглашением, что

H_{-1}=0

. ^[1]

Если нас интересует только набор, которым может стать портфель в какой-то момент в будущем, то мы можем сказать, что $H_{\tau }\in -K_{0}-\sum _{k=1}^{\tau }L_{d}^{p}(K_{k})$ .

Если существуют транзакционные издержки, то следует рассматривать только дискретную торговлю, а в непрерывном времени приведенные выше расчеты следует довести до такого предела, чтобы $\Delta t\to 0$ .

Непрерывное время

Позволять $S=(S_{t})_{t\geq 0}$ быть d-мерным семимартингальным рынком без трения и $h=(h_{t})_{t\geq 0}$ d-мерный предсказуемый случайный процесс, такой что стохастические интегралы $h^{i}\cdot S^{i}$ существовать $\forall \,i=1,\dots ,d$ . Процесс $h_{t}^{i}$ обозначают количество акций номер акции $i$ в портфолио на данный момент $t$ , и $S_{t}^{i}$ цена биржевого номера $i$ . Обозначим процесс ценности торговой стратегии $h$ к

V_{t}=\sum _{i=1}^{n}h_{t}^{i}S_{t}^{i}.

Тогда портфель/торговая стратегия $h=\left((h_{t}^{1},\dots ,h_{t}^{d})\right)_{t}$ называется самофинансированием, если

V_{t}=\sum _{i=1}^{n}\left\{h_{0}^{i}S_{0}^{i}+\int _{0}^{t}h_{u}^{i}\mathrm {d} S_{u}^{i}\right\}=h_{0}\cdot S_{0}+\int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}

. ^[2]

Термин $h_{0}\cdot S_{0}$ соответствует начальному богатству портфеля, а $\int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}$ это совокупная прибыль или убыток от торговли до момента $t$ . Это означает, в частности, что не было никакого вливания денег в портфель или вывода денег из него.

См. также

Ссылки

^ Хамель, Андреас; Хейде, Фрэнк; Рудлофф, Биргит (30 ноября 2010 г.). «Множественные меры риска для моделей конического рынка». arXiv : 1011.5986v1 [ q-fin.RM ].
^ Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 87 . ISBN 978-0-19-877518-8 .

[1] Хамель, Андреас; Хейде, Фрэнк; Рудлофф, Биргит (30 ноября 2010 г.). «Множественные меры риска для моделей конического рынка». arXiv : 1011.5986v1 [ q-fin.RM ].

[2] Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 87 . ISBN 978-0-19-877518-8 .

[1]

[2]