Выпуклость (финансы)

В математических финансах выпуклость относится к нелинейностям в финансовой модели . Другими словами, если цена базовой переменной изменяется, цена выпуска не изменяется линейно, а зависит от второй производной (или, грубо говоря, членов более высокого порядка ) моделирующей функции. Геометрически модель уже не плоская, а изогнутая, а степень кривизны называется выпуклостью.

Терминология

Строго говоря, выпуклость относится ко второй производной цены выпуска по цене затрат. В ценообразовании деривативов это называется Гамма (Γ), одно из греческих слов . На практике наиболее важным из них является выпуклость облигаций , вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам.

Поскольку вторая производная является первым нелинейным термином и, следовательно, часто наиболее значимым, «выпуклость» также широко используется для обозначения нелинейностей в целом, включая члены более высокого порядка. Уточнение модели для учета нелинейностей называется коррекцией выпуклости .

Математика

Формально корректировка выпуклости возникает из неравенства Йенсена в теории вероятностей: ожидаемое значение выпуклой функции больше или равно функции ожидаемого значения:

E[f(X)]\geq f(E[X]).

Геометрически, если цена модели изгибается вверх по обе стороны от приведенной стоимости (функция выигрыша выпукла вверх и находится над касательной в этой точке), то если цена базового актива изменяется, цена выпуска увеличивается . чем моделируется с использованием только первой производной. И наоборот, если кривая цены модели направлена вниз (выпуклость отрицательна, функция выигрыша находится ниже касательной), цена выпуска будет ниже , чем моделируется с использованием только первой производной. ^{[ нужны разъяснения ]}

Точная корректировка выпуклости зависит от модели будущих движений цены базового актива (распределения вероятностей) и модели цены, хотя она линейна по выпуклости (вторая производная функции цены).

Интерпретация

Выпуклость можно использовать для интерпретации ценообразования производных инструментов: математически выпуклость — это необязательность: цена опциона (значение опциона) соответствует выпуклости базовой выплаты.

При Блэка-Шоулза без учета процентных ставок и первой производной уравнение Блэка-Шоулза сводится к ценообразовании опционов $\Theta =-\Gamma ,$ «(бесконечно мало) значение времени - это выпуклость». То есть стоимость опциона обусловлена выпуклостью конечной выплаты: у человека есть возможность купить актив или нет (при колле; для пута это опцион на продажу), а также функцией окончательной выплаты ( форма хоккейной клюшки ) выпукла – «необязательность» соответствует выпуклости выплаты. Таким образом, если кто-то покупает опцион колл, ожидаемая стоимость опциона выше , чем просто взятие ожидаемой будущей стоимости базового актива и ввод ее в функцию выплаты опциона: ожидаемое значение выпуклой функции выше, чем функция ожидаемое значение (неравенство Дженсена). Цена опциона – стоимость опциона – таким образом, отражает выпуклость функции выигрыша. ^{[ нужны разъяснения ]}.

Эта стоимость изолируется с помощью стрэддла – покупка стрэддла «при деньгах» (стоимость которого увеличивается, если цена базового актива увеличивается или уменьшается) не имеет (изначально) дельты: человек просто покупает выпуклость (необязательно), не открывая позиции. на базовый актив – выгоду приносит степень движения, а не направление .

С точки зрения управления рисками, длинная выпуклость (имеющая положительную Гамму и, следовательно (игнорируя процентные ставки и Дельту) отрицательную Тету) означает, что человек получает выгоду от волатильности (положительная Гамма), но теряет деньги с течением времени (отрицательная Тета) – один чистая прибыль, если цены изменяются больше , чем ожидалось, и чистые убытки, если цены изменяются меньше , чем ожидалось.

Регулировка выпуклости

С точки зрения моделирования, корректировки выпуклости возникают каждый раз, когда базовые моделируемые финансовые переменные не являются мартингейлом в соответствии с мерой ценообразования . Применяя теорему Гирсанова ^[1] позволяет выразить динамику смоделированных финансовых переменных в рамках меры ценообразования и, следовательно, оценить эту корректировку выпуклости. Типичные примеры корректировки выпуклости включают в себя:

Опционы Quanto : базовый актив выражен в валюте, отличной от валюты платежа. Если дисконтированный базовый актив является мартингейлом в соответствии с его внутренней мерой нейтральности к риску, он больше не попадает под меру нейтральности к валютному риску платежа.
Инструменты свопа с постоянным сроком погашения (CMS) (свопы, кэпы/минимумы) ^[2]
Анализ спреда с учетом опционов (OAS) для ценных бумаг с ипотечным покрытием или других облигаций с правом отзыва
Расчет форвардной ставки IBOR по на евродоллар фьючерсам
IBOR форвардит по рыночной модели LIBOR (LMM)

Ссылки

Бенаму, Эрик, Глобальные деривативы: продукты, теория и практика, стр. 111–120 , 5.4 Корректировка выпуклости (особенно 5.4.1 Коррекция выпуклости) ISBN 978-981-256-689-8
Пельссер, Антун (апрель 2001 г.). «Математические основы коррекции выпуклости». ССНН 267995 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[1] Д. Папайоанну (2011): «Прикладная многомерная теорема Гирсанова», SSRN

[2] П. Хаган (2003) Загадки выпуклости: ценообразование на замену, ограничение и полы CMS, журнал Wilmott Magazine. Архивировано 15 апреля 2012 г. в Wayback Machine.

[1]

[2]