Прямая мера

В финансах T - форвардная мера представляет собой меру ценообразования, абсолютно непрерывную по отношению к нейтральной к риску мере чтобы использовать денежный рынок в качестве количественного показателя , она использует облигацию со сроком погашения T. , но вместо того , Впервые использование форвардной меры было предложено Фаршидом Джамшидианом (1987), а затем использовалось как средство расчета цены опционов на облигации . ^[1]

Математическое определение

Позволять ^[2]

B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)

быть номером банковского счета или счета денежного рынка и

D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)

быть коэффициентом дисконтирования на рынке в момент времени 0 для срока погашения T . Если $Q_{*}$ это мера, нейтральная к риску, то мера вперед $Q_{T}$ определяется через производную Радона – Никодима, определяемую формулой

{\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.

Обратите внимание, что это означает, что форвардный показатель и нейтральный к риску показатель совпадают, когда процентные ставки являются детерминированными. Кроме того, это особая форма изменения нумерационной формулы путем замены нумератора денежного рынка или банковского счета B ( t ) на с Т облигацию -погашением P ( t , T ). Действительно, если вообще

P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]

— цена облигации с нулевым купоном в момент времени t со сроком погашения T , где ${\mathcal {F}}(t)$ — фильтрация, обозначающая рыночную информацию в момент времени t , то мы можем написать

{\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}

из чего действительно ясно, что форвардная мера T связана с облигацией с нулевым купоном T -погашения в качестве нумератора . Более подробное обсуждение см. в Brigo and Mercurio (2001).

Последствия

Название «форвардный показатель» происходит от того факта, что при форвардном показателе форвардные цены представляют собой мартингалы , и этот факт впервые заметил Геман (1989) (который отвечает за формальное определение показателя). ^[3] Сравните с ценами фьючерсов, которые являются мартингалами при нейтральном к риску показателе. Обратите внимание: когда процентные ставки детерминированы, это означает, что форвардные цены и цены фьючерсов одинаковы.

Например, дисконтированная цена акции является мартингейлом при нейтральном к риску показателе:

S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,

Форвардная цена определяется выражением $F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}$ . Таким образом, мы имеем $F_{S}(T,T)=S(T)$

F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}

с помощью производной Радона-Никодима ${\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}$ и равенство $F_{S}(T,T)=S(T)$ . Последний член равен единице по определению цены облигации, так что мы получаем

F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,

Ссылки

^ Джамшидиан, Фаршид (1989), «Точная формула ценообразования опционов на облигации», The Journal of Finance , 44 : 205–209, doi : 10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x
^ Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.
^ Геман, Х. (1989) Важность прямой нейтральной вероятности в стохастическом подходе к процентным ставкам. Рабочий документ, ESSEC.

Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок — теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-22149-4 .

См. также

[1] Джамшидиан, Фаршид (1989), «Точная формула ценообразования опционов на облигации», The Journal of Finance , 44 : 205–209, doi : 10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x

[2] Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.

[3] Геман, Х. (1989) Важность прямой нейтральной вероятности в стохастическом подходе к процентным ставкам. Рабочий документ, ESSEC.

[1]

[2]

[3]