Численный

Числовой ) — это базовый стандарт , (или числовой по которому вычисляется стоимость. В математической экономике это торгуемый экономический объект, в цене которого относительные цены выражаются всех других торгуемых товаров. В монетарной экономике одна из функций денег состоит в том, чтобы действовать как числовая единица, т.е. служить в качестве расчетной единицы стоимость различных товаров и, следовательно, обеспечивать общий ориентир, относительно которого можно измерять и услуг.

Использование нумератора, будь то денежного или какого-либо потребительского товара, облегчает сравнение стоимости, когда важны только относительные цены, как в теории общего равновесия . Когда экономический анализ называет конкретный товар числовым, говорят, что все остальные цены нормализуются по цене этого товара. Например, если единица товара g имеет вдвое большую рыночную стоимость единицы цифрового товара, то (относительная) цена товара g равна 2. Поскольку стоимость одной единицы цифрового товара по отношению к одной единице самого себя равна 1, цена нумератора всегда равна 1.

Смена наличных

На финансовом рынке, где обращаются ценные бумаги, можно использовать числовой метод для оценки активов. Например, пусть $M(t)$ быть ценой в момент времени 1 доллара США, который был инвестирован в денежный рынок в момент 0 . Фундаментальная теорема ценообразования активов гласит, что все активы $S(t)$ оцененные в числовых единицах (в данном случае M ), являются мартингалами по отношению к нейтральной к риску мере , скажем $Q$. То есть:

${\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]$

Теперь предположим, что $N(t)>0$ Это еще один строго положительный торгуемый актив (и, следовательно, мартингейл, если оценивать его с точки зрения денежного рынка). Тогда мы можем определить новую вероятностную меру $Q^{N}$ по производной Радона–Никодима

${\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}={\frac {N(T)}{M(T)}}$

Тогда можно показать, что $S(t)$ это мартингейл под $Q^{N}$ при цене в пересчете на новый номер $N(t)$:

${\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]\\&=E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]/E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}\\&={\frac {S(t)}{N(t)}}\end{aligned}}$

Этот метод имеет множество важных применений в моделях LIBOR и своп- рынках, а также на товарных рынках. Джамшидиан (1989) впервые использовал его в контексте модели Васичека для процентных ставок для расчета цен опционов на облигации. Жеман, Эль Каруи и Роше (1995) представили общую формальную основу для изменения техники вычислений. См., например, Бриго и Меркурио (2001). для изменения набора инструментов для расчета.

Денежные средства в финансовом ценообразовании

Определение подходящей нумерации основано на нескольких моделях финансового ценообразования, таких как опционы и определенные активы. Идентификация рискованного актива как числового связана с количеством базовых активов для моделирования. Базовые сдвиги моделируются следующим образом:

$Z_{i}:={\frac {X_{i}}{X_{0}}}$

$X=(X_{0},X_{1},...,X_{n})\to Z=(1,Z_{1},...,Z_{n})$

где 1 определяет нумерацию.

См. также

• Прямая мера
• Индекс цен
• Расчетная единица

Источники

• Фаршид Джамшидян (1989). «Точная формула ценообразования опционов на облигации». Журнал финансов . 44 : 205–209. дои : 10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x .
• Хелиетт Геман ; Николь Эль Каруи ; Дж. К. Роше (1995). «Изменения чисел, изменения вероятностной меры и ценообразования опционов». Журнал прикладной вероятности . 32 (2): 443–458. дои : 10.2307/3215299 . JSTOR   3215299 . S2CID   124199920 .
• Дамиано Бриго ; Фабио Меркурио (2006) [2001]. Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд.). Спрингер Верлаг. ISBN  978-3-540-22149-4 .
• Аллингем М. (2008) Numeraire. В: Пэлгрейв Макмиллан (ред.) Новый экономический словарь Пэлгрейва. Пэлгрейв Макмиллан, Лондон. https://doi.org/10.1057/978-1-349-95121-5_1514-2