Модель Кокса – Ингерсолла – Росса

Три траектории процессов CIR

В математических финансах модель Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR) описывает эволюцию процентных ставок . Это разновидность «однофакторной модели» ( модель краткосрочной ставки ), поскольку она описывает изменения процентных ставок как обусловленные только одним источником рыночного риска . Модель может быть использована при оценке процентных деривативов . Он был представлен в 1985 году. Джона К. Кокса , Джонатана Э. Ингерсолла и Стивена А. Росса как расширение модели Васичека , которая сама по себе является процессом Орнштейна-Уленбека .

Модель

Процесс CIR

Модель CIR описывает мгновенную процентную ставку. $r_{t}$ с процессом Феллера с квадратным корнем, стохастическое дифференциальное уравнение которого имеет вид

$dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},$

где $W_{t}$ представляет собой винеровский процесс (моделирующий случайный фактор рыночного риска) и $a$, $b$, и $\sigma \,$ это параметры . Параметр $a$ соответствует скорости адаптации к среднему значению $b$, и $\sigma \,$ к волатильности. Коэффициент дрейфа, $a(b-r_{t})$, точно такой же, как и в модели Васичека. Это обеспечивает возврат средней процентной ставки к долгосрочной стоимости. $b$, при этом скорость регулировки определяется строго положительным параметром $a$.

Коэффициент стандартного отклонения , $\sigma {\sqrt {r_{t}}}$, позволяет избежать возможности отрицательных процентных ставок для всех положительных значений $a$ и $b$. Нулевая процентная ставка также исключается, если выполняется условие

$2ab\geq \sigma ^{2}\,$

встречается. В более общем плане, когда ставка ( $r_{t}$) близко к нулю, стандартное отклонение ( $\sigma {\sqrt {r_{t}}}$) также становится очень малым, что ослабляет влияние случайного шока на ставку. Следовательно, когда ставка приближается к нулю, в ее эволюции начинает доминировать фактор дрейфа, который толкает ставку вверх (к равновесию ).

В случае $4ab=\sigma ^{2}\,$, процесс извлечения квадратного корня Феллера можно получить из квадрата процесса Орнштейна – Уленбека . Оно эргодично и обладает стационарным распределением. Он используется в модели Хестона для моделирования стохастической волатильности.

Распределение

• Будущее распространение

Распределение будущих значений процесса CIR можно вычислить в закрытой форме:

$r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},$

где $c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}$, а Y — нецентральное распределение хи-квадрат с ${\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}$ степени свободы и параметр нецентральности $2cr_{t}e^{-aT}$. Формально функция плотности вероятности имеет вид:

$f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-u-v}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),$

где $q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1$, $u=cr_{t}e^{-aT}$, $v=cr_{t+T}$, и $I_{q}(2{\sqrt {uv}})$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя первого рода порядка. $q$.

• Асимптотическое распределение

Из-за возврата к среднему, когда время становится большим, распределение $r_{\infty }$ будет приближаться к гамма-распределению с плотностью вероятности:

$f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},$

где $\beta =2a/\sigma ^{2}$ и $\alpha =2ab/\sigma ^{2}$.

показывать Вывод асимптотического распределения

To derive the asymptotic distribution $p_{\infty }$ for the CIR model, we must use the Fokker-Planck equation: ${\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial r}}[a(b-r)p]={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2} \over {\partial r^{2}}}(rp)$ Our interest is in the particular case when $\partial _{t}p\rightarrow 0$, which leads to the simplified equation: $a(b-r)p_{\infty }={1 \over {2}}\sigma ^{2}\left(p_{\infty }+r{dp_{\infty } \over {dr}}\right)$ Defining $\alpha =2ab/\sigma ^{2}$ and $\beta =2a/\sigma ^{2}$ and rearranging terms leads to the equation: ${\alpha -1 \over {r}}-\beta ={d \over {dr}}\log p_{\infty }$ Integrating shows us that: $p_{\infty }\propto r^{\alpha -1}e^{-\beta r}$ Over the range $p_{\infty }\in (0,\infty ]$, this density describes a gamma distribution. Therefore, the asymptotic distribution of the CIR model is a gamma distribution.

Характеристики

• Средняя реверсия ,
• Зависимая от уровня волатильность ( $\sigma {\sqrt {r_{t}}}$),
• За данный положительный $r_{0}$ процесс никогда не достигнет нуля, если $2ab\geq \sigma ^{2}$; в противном случае он может иногда касаться нулевой точки,
• $\operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})$, поэтому долгосрочное среднее значение равно $b$,
• $\operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.$

Калибровка

• Обычные наименьшие квадраты

Непрерывное СДУ можно дискретизировать следующим образом:

$r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},$

что эквивалентно

${\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},$

предоставил $\varepsilon _{t}$ является niid (0,1). Это уравнение можно использовать для линейной регрессии.

• Оценка Мартингейла
• Максимальная вероятность

Моделирование

Стохастическое моделирование процесса CIR может быть достигнуто двумя вариантами:

• Дискретизация
• Точный

Цены на облигации

При предположении об отсутствии арбитража облигация может быть оценена с использованием этого процесса процентных ставок. Цена облигации экспоненциально пропорциональна процентной ставке:

$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}\!$

где

$A(t,T)=\left({\frac {2he^{(a+h)(T-t)/2}}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}$

$B(t,T)={\frac {2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}$

$h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}$

Расширения

Модель CIR использует особый случай базовой диффузии аффинного скачка , который по-прежнему позволяет в замкнутой форме выражать цены облигаций . В модель можно ввести изменяющиеся во времени функции, заменяющие коэффициенты, чтобы сделать ее согласованной с заранее заданной временной структурой процентных ставок и, возможно, волатильности. Самый общий подход предложен Магсуди (1996). Более гибкий подход представлен у Бриго и Меркурио (2001b). где к модели добавляется внешний зависящий от времени сдвиг для обеспечения согласованности с входной временной структурой ставок.

Значительное расширение модели CIR на случай стохастического среднего и стохастической волатильности предложено Лин Ченом (1996) и известно как модель Чена . Более поздним расширением для обработки волатильности кластера, отрицательных процентных ставок и различных распределений является так называемый «CIR #» Орландо, Мининни и Буфало (2018, 2019, 2020, 2021, 2023 ), а более простое расширение, ориентированное на отрицательные процентные ставки, было предложено Ди Франческо и Каммом (2021, 2022 ), которые называются моделями CIR- и CIR--.

См. также

• Модель Халла – Уайта
• Модель деревни
• Модель Чена

Дальнейшие ссылки

• Халл, Джон К. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN  0-13-009056-5 .
• Кокс, Дж. К., Дж. Э. Ингерсолл и С. А. Росс (1985). «Теория временной структуры процентных ставок». Эконометрика . 53 (2): 385–407. дои : 10.2307/1911242 . JSTOR   1911242 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Магсуди, Ю. (1996). «Решение расширенной срочной структуры CIR и оценки опционов на облигации». Математические финансы . 6 (6): 89–109. дои : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x .
• Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок — теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN  978-3-540-22149-4 .
• Бриго, Дамиано; Фабио Меркурио (2001b). «Расширение детерминистического сдвига аналитически управляемых и однородных во времени моделей с короткими ставками» . Финансы и стохастика . 5 (3): 369–388. дои : 10.1007/PL00013541 . S2CID   35316609 .
• Библиотека с открытым исходным кодом, реализующая процесс CIR на Python
• Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Мишель (2020). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению». Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642 . ISSN   1099-131X . S2CID   126507446 .