Базовая диффузия аффинного перехода

«AJD» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. AJD (значения) .

В математической теории вероятностей базовая диффузия аффинного скачка (базовая AJD) представляет собой случайный процесс Z формы

$dZ_{t}=\kappa (\theta -Z_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {Z_{t}}}\,dB_{t}+dJ_{t},\qquad t\geq 0,Z_{0}\geq 0,$

где $B$ является стандартным броуновским движением и $J$ представляет собой независимый составной пуассоновский процесс с постоянной интенсивностью скачков $l$ и независимые экспоненциально распределенные скачки со средним $\mu$. Для четкого определения процесса необходимо, чтобы $\kappa \theta \geq 0$ и $\mu \geq 0$. Базовый AJD представляет собой частный случай аффинного процесса и скачкообразной диффузии . С другой стороны, процесс Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR) представляет собой частный случай базового AJD.

Базовые AJD привлекательны для моделирования времени дефолта в связанных с кредитным риском . приложениях, поскольку обе производящие функции момента

$m\left(q\right)=\operatorname {E} \left(e^{q\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad q\in \mathbb {R} ,$

и характеристическая функция

$\varphi \left(u\right)=\operatorname {E} \left(e^{iu\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad u\in \mathbb {R} ,$

известны в закрытом виде .

Характеристическая функция позволяет рассчитать плотность интегрированного базового AJD

$\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds$

путем инверсии Фурье , которую можно эффективно выполнить с помощью БПФ .