Суперпроцесс

Ан $(\xi ,d,\beta )$ - сверхпроцесс , $X(t,dx)$ , в рамках математики теория вероятностей представляет собой процесс случайный $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}$ обычно его конструируют как специальный предел околокритической ветвящейся диффузии.

Неформально это можно рассматривать как ветвящийся процесс, в котором каждая частица расщепляется и умирает с бесконечной скоростью и развивается в соответствии с уравнением диффузии, и мы следуем измененной популяции частиц, рассматриваемой как мера $\mathbb {R}$ .

Предел масштабирования дискретного ветвящегося процесса

Самая простая настройка

Для любого целого числа $N\geq 1$ , рассмотрим ветвящийся броуновский процесс $Y^{N}(t,dx)$ определяется следующим образом:

Начать с $t=0$ с $N$ независимые частицы, распределенные согласно распределению вероятностей $\mu$ .
Каждая частица независимо движется согласно броуновскому движению .
Каждая частица самостоятельно умирает со скоростью $N$ .
Когда частица умирает, с вероятностью $1/2$ он рожает двух потомков в одном и том же месте.

Обозначения $Y^{N}(t,dx)$ средства следует интерпретировать как: в каждый момент времени $t$ , количество частиц в наборе $A\subset \mathbb {R}$ является $Y^{N}(t,A)$ . Другими словами, $Y$ есть мерозначный случайный процесс. ^[1]

Теперь определим перенормированный процесс:

$X^{N}(t,dx):={\frac {1}{N}}Y^{N}(t,dx)$

Тогда конечномерные распределения $X^{N}$ сходятся как $N\to +\infty$ к случайному процессу с мерным значением $X(t,dx)$ , который называется $(\xi ,\phi )$ - сверхпроцесс , ^[1] с начальной стоимостью $X(0)=\mu$ , где $\phi (z):={\frac {z^{2}}{2}}$ и где $\xi$ является броуновским движением (в частности, $\xi =(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\xi _{t},{\textbf {P}}_{x})$ где $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ это измеримое пространство , $({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$ представляет собой фильтрацию , а $\xi _{t}$ под ${\textbf {P}}_{x}$ начинается ли закон броуновского движения в $x$ ).

Как будет разъяснено в следующем разделе, $\phi$ кодирует основной механизм ветвления и $\xi$ кодирует движение частиц. Здесь, поскольку $\xi$ является броуновским движением, результирующий объект известен как суперброуновское движение . ^[1]

Обобщение на (ξ, φ)-суперпроцессы

Наша дискретная система ветвления $Y^{N}(t,dx)$ может быть гораздо более сложным, что приводит к множеству суперпроцессов:

Вместо $\mathbb {R}$ , пространство состояний теперь может быть любым пространством Лусина $E$ .
Основное движение частиц теперь может быть задано формулой $\xi =(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\xi _{t},{\textbf {P}}_{x})$ , где $\xi _{t}$ представляет собой марковский процесс (см., ^[1] Подробности в главе 4).
Частица умирает со скоростью $\gamma _{N}$
Когда частица умирает во времени $t$ , расположенный в $\xi _{t}$ , он рождает случайное количество потомков $n_{t,\xi _{t}}$ . Это потомство начинает двигаться от $\xi _{t}$ . Мы требуем, чтобы закон $n_{t,x}$ зависит исключительно от $x$ , и это все $(n_{t,x})_{t,x}$ независимы. Набор $p_{k}(x)=\mathbb {P} [n_{t,x}=k]$ и определить $g$ соответствующая функция, генерирующая вероятность : ${\textstyle g(x,z):=\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}(x)z^{k}}$

Добавьте следующее требование о том, что ожидаемое число потомков ограничено: $\sup \limits _{x\in E}\mathbb {E} [n_{t,x}]<+\infty$ Определять $X^{N}(t,dx):={\frac {1}{N}}Y^{N}(t,dx)$ как указано выше, и определите следующую важную функцию: $\phi _{N}(x,z):=N\gamma _{N}\left[g_{N}{\Big (}x,1-{\frac {z}{N}}{\Big )}\,-\,{\Big (}1-{\frac {z}{N}}{\Big )}\right]$ Добавьте требование для всех $a\geq 0$ , что $\phi _{N}(x,z)$ непрерывен по Липшицу относительно $z$ равномерно на $E\times [0,a]$ , и это $\phi _{N}$ сходится к некоторой функции $\phi$ как $N\to +\infty$ равномерно на $E\times [0,a]$ .

При соблюдении всех этих условий конечномерные распределения $X^{N}(t)$ сходятся к таковым случайного процесса с мерой $X(t,dx)$ который называется $(\xi ,\phi )$ - сверхпроцесс , ^[1] с начальной стоимостью $X(0)=\mu$ .

Комментарий к φ

Предоставил $\lim _{N\to +\infty }\gamma _{N}=+\infty$ , то есть число событий ветвления становится бесконечным, требование, чтобы $\phi _{N}$ сходится, означает, что, взяв разложение Тейлора $g_{N}$ , ожидаемое число потомков близко к 1, и, следовательно, процесс близок к критическому.

Обобщение на суперпроцессы Доусона-Ватанабе.

Разветвленная система частиц $Y^{N}(t,dx)$ можно далее обобщить следующим образом:

Вероятность смерти за интервал времени $[r,t)$ частицы, следующей по траектории $(\xi _{t})_{t\geq 0}$ является $\exp \left\{-\int _{r}^{t}\alpha _{N}(\xi _{s})K(ds)\right\}$ где $\alpha _{N}$ является положительной измеримой функцией и $K$ является непрерывным функционалом $\xi$ (видеть, ^[1] главу 2, подробнее).
Когда частица движется по траектории $\xi$ умирает вовремя $t$ с мерой , он рождает потомство в соответствии с вероятностным ядром $F_{N}(\xi _{t-},d\nu )$ . Другими словами, потомство не обязательно рождается там, где находится родитель. Число потомков определяется $\nu (1)$ . Предположим, что $\sup \limits _{x\in E}\int \nu (1)F_{N}(x,d\nu )<+\infty$ .

Тогда при подходящих гипотезах конечномерные распределения $X^{N}(t)$ сходятся к таковым случайного процесса с мерой $X(t,dx)$ который называется Доусона-Ватанабэ суперпроцессом , ^[1] с начальной стоимостью $X(0)=\mu$ .

Характеристики

Суперпроцесс имеет ряд свойств. Это марковский процесс и его марковское ядро. $Q_{t}(\mu ,d\nu )$ проверяет свойство ветвления : $Q_{t}(\mu +\mu ',\cdot )=Q_{t}(\mu ,\cdot )*Q_{t}(\mu ',\cdot )$ где $*$ — это свертка . Особым классом суперпроцессов являются $(\alpha ,d,\beta )$ -суперпроцессы , ^[2] с $\alpha \in (0,2],d\in \mathbb {N} ,\beta \in (0,1]$ . А $(\alpha ,d,\beta )$ -суперпроцессы определены на $\mathbb {R} ^{d}$ . Его механизм ветвления определяется функцией , производящей факториальный момент (определение механизма ветвления незначительно различается у разных авторов, некоторые ^[1] использовать определение $\phi$ в предыдущем разделе другие ^[2] используйте функцию, производящую факториальный момент):

\Phi (s)={\frac {1}{1+\beta }}(1-s)^{1+\beta }+s

и пространственное движение отдельных частиц (отмечено $\xi$ в предыдущем разделе) определяется $\alpha$ -симметричный устойчивый процесс с бесконечно малым генератором $\Delta _{\alpha }$ .

The $\alpha =2$ случай означает $\xi$ является стандартным броуновским движением и $(2,d,1)$ -сверхпроцесс называется суперброуновским движением.

Одним из наиболее важных свойств суперпроцессов является то, что они тесно связаны с некоторыми нелинейными уравнениями в частных производных . Простейшим таким уравнением является $\Delta u-u^{2}=0\ on\ \mathbb {R} ^{d}.$ Когда пространственное движение (миграция) является диффузионным процессом, говорят о супердиффузии. Связь между супердиффузиями и нелинейными УЧП аналогична связи между диффузией и линейными УЧП.

Дополнительные ресурсы

Евгений Б. Дынкин (2004). Супердиффузии и положительные решения нелинейных уравнений в частных производных. Приложение А Ж.-Ф. Ле Галля и Приложение Б И. Е. Вербицкого . Серия университетских лекций, 34. Американское математическое общество. ISBN 9780821836828 .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Ли, Цзэнху (2011), Ли, Цзэнху (редактор), «Ветвящиеся процессы с мерным значением» , «Ветвящиеся марковские процессы с мерным значением » , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 29–56, doi : 10.1007/978-3- 642-15004-3_2 , ISBN 978-3-642-15004-3 , получено 20 декабря 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Этеридж, Элисон (2000). Введение в суперпроцессы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2706-5 . OCLC 44270365 .

Эта вероятности статья о незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Ли, Цзэнху (2011), Ли, Цзэнху (редактор), «Ветвящиеся процессы с мерным значением» , «Ветвящиеся марковские процессы с мерным значением » , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 29–56, doi : 10.1007/978-3- 642-15004-3_2 , ISBN 978-3-642-15004-3 , получено 20 декабря 2022 г.

[:1-2] Jump up to: ^а ^б Этеридж, Элисон (2000). Введение в суперпроцессы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2706-5 . OCLC 44270365 .

[1]

[2]

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category