Производящая функция факториального момента

В теории вероятностей и статистике факториальная производящая функция момента (FMGF) распределения вероятностей действительной величины случайной X определяется как

$M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}$

для всех комплексных чисел t, для которых существует это ожидаемое значение . Это так, по крайней мере, для всех t на единичной окружности. $|t|=1$, см. характеристическую функцию . Если X — дискретная случайная величина, принимающая значения только из множества {0,1,...} целых неотрицательных чисел , то $M_{X}$ также называется производящей вероятностью функцией (PGF) X и $M_{X}(t)$ корректно определен по крайней мере для всех t на замкнутом единичном круге $|t|\leq 1$.

Генерирующая функция факториального момента генерирует факториальные моменты распределения вероятностей .Предоставил $M_{X}$ существует в окрестности точки t = 1, n- й факториальный момент определяется выражением

$\operatorname {E} [(X)_{n}]=M_{X}^{(n)}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),$

где символ Похгаммера ( x ) _n — падающий факториал

$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\,$

(Многие математики, особенно в области специальных функций , используют одни и те же обозначения для обозначения возрастающего факториала .)

Примеры

Распределение Пуассона

Предположим, что X имеет распределение Пуассона с ожидаемым значением λ, тогда его факториальная производящая функция момента равна

$M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,$

(используйте определение показательной функции ) и, таким образом, мы имеем

$\operatorname {E} [(X)_{n}]=\lambda ^{n}.$

См. также

• Момент (математика)
• Функция генерации момента
• Кумулянт-генерирующая функция