Венская колбаса

Чтобы узнать о продукте питания, см. Венская колбаса .

Длинная и тонкая венская колбаса в 3 измерениях

Короткая толстая венская колбаса в двух измерениях

В математической области вероятности винеровская колбаса — это окрестность следа броуновского движения до момента времени t , заданная путем взятия всех точек на фиксированном расстоянии от броуновского движения. Его можно представить как колбаску фиксированного радиуса, центральная линия которой представляет собой броуновское движение. Венская колбаса была названа в честь Норберта Винера и доктором медицинских наук Донскером сэром Шринивасой Варадханом ( 1975 ) из-за ее связи с винеровским процессом ; это название также является каламбуром от венской колбасы , поскольку «Wiener» по-немецки означает «венский».

Винеровская колбаска — один из простейших немарковских функционалов броуновского движения. Его приложения включают стохастические явления, включая теплопроводность . Впервые он был описан Фрэнком Спитцером ( 1964 ), и его использовали Марк Кац и Хоакин Маздак Латтинджер ( 1973 , 1974 ) для объяснения результатов конденсата Бозе-Эйнштейна , доказательства опубликовали М.Д. Донскер и С.Р. Шриниваса Варадхан ( 1975 ). .

Определения

Винеровская колбаса W _δ ( t ) радиуса δ и длины t — это многозначная случайная величина на броуновских путях b (в некотором евклидовом пространстве), определяемая формулой

$W_{\delta }(t)({b})$ — это набор точек на расстоянии δ от некоторой точки b ( x ) пути b с 0≤ x ≤ t .

Объем венской колбасы

Было проведено много работ по поведению объема ( мера Лебега ) | W _δ ( т )| колбасы по мере ее утончения (δ→0); путем изменения масштаба это по сути эквивалентно изучению объема по мере того, как колбаса становится длинной ( t → ∞).

Спитцер (1964) показал, что в трех измерениях ожидаемое значение объема колбасы равно

$E(|W_{\delta }(t)|)=2\pi \delta t+4\delta ^{2}{\sqrt {2\pi t}}+4\pi \delta ^{3}/3.$

В размерности d не менее 3 объем винеровской колбасы асимптотичен

$\delta ^{d-2}\pi ^{d/2}2t/\Gamma ((d-2)/2)$

поскольку t стремится к бесконечности. В размерностях 1 и 2 эта формула заменяется на ${\sqrt {8t/\pi }}$ и $2{\pi }t/\log(t)$ соответственно. Уитмен (1964) , ученик Спитцера, доказал аналогичные результаты для обобщений винеровских колбасок с сечениями, заданными более общими компактами, чем шары .

Ссылки

• Донскер, Мэриленд ; Варадхан, SRS (1975), «Асимптотика венской колбасы», Сообщения по чистой и прикладной математике , 28 (4): 525–565, doi : 10.1002/cpa.3160280406
• Холландер, Ф. ден (2001) [1994], «Винерская колбаса» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кац, М. ; Латтинджер, Дж. М. (1973), «Конденсация Бозе-Эйнштейна в присутствии примесей», J. Math. Физ. , 14 (11): 1626–1628, Бибкод : 1973JMP....14.1626K , doi : 10.1063/1.1666234 , MR   0342114
• Кац, М. ; Латтинджер, Дж. М. (1974), "Конденсация Бозе-Эйнштейна в присутствии примесей. II", J. Math. Физ. , 15 (2): 183–186, Бибкод : 1974JMP....15..183K , doi : 10.1063/1.1666617 , MR   0342115
• Саймон, Барри (2005), Функциональная интеграция и квантовая физика , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing, ISBN  0-8218-3582-3 , МР   2105995 Особенно глава 22.
• Спитцер, Ф. (1964), «Электростатическая емкость, тепловой поток и броуновское движение», Теория вероятностей и смежные области , 3 (2): 110–121, doi : 10.1007/BF00535970 , S2CID   198179345
• Спитцер, Франк (1976), Принципы случайных блужданий , Тексты для аспирантов по математике , том. 34, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, с. 40, МР   0171290 (Репринт издания 1964 г.)
• Шнитман, Ален-Соль (1998), Броуновское движение, препятствия и случайные среды , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-11281-6 , ISBN  3-540-64554-3 , MR   1717054 Передовая монография по венской колбасе.
• Уитмен, Уолтер Уильям (1964), Некоторые сильные законы для случайных блужданий и броуновского движения , докторская диссертация, Корнеллский университет.