Броуновская экскурсия

Реализация броуновского путешествия.

В теории вероятностей броуновский экскурсионный процесс — это стохастический процесс , тесно связанный с винеровским процессом (или броуновским движением ). Реализации броуновских экскурсионных процессов по сути являются просто реализациями винеровского процесса, выбранными для удовлетворения определенных условий. В частности, броуновский экскурсионный процесс — это винеровский процесс, который должен быть положительным и принимать значение 0 в момент времени 1. Альтернативно, это броуновский мостовой процесс, который должен быть положительным. BEP важны, потому что, помимо прочего, они естественным образом возникают как предельный процесс ряда условных функциональных центральных предельных теорем.

Определение

Броуновский экскурсионный процесс, $e$, является винеровским процессом (или броуновским движением ), который должен быть положительным и принимать значение 0 в момент времени 1. Альтернативно, это броуновский мостовой процесс, который должен быть положительным.

Еще одно представление броуновского экскурса. $e$ в терминах процесса броуновского движения W (приписанного Полем Леви и отмеченного Кийоси Ито и Генри П. Маккином-младшим. )это в плане последнего времени $\tau _{-}$ что W достигает нуля до момента 1 и в первый раз $\tau _{+}$ это броуновское движение $W$ достигает нуля после времени 1:

$\{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.$

Позволять $\tau _{m}$ быть тем временем, когда Броуновский мостовой процесс $W_{0}$ достигает своего минимума на [0, 1]. Верваат (1979) показывает, что

$\{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.$

Характеристики

Представление Верваата о броуновском отклонении имеет несколько последствий для различных функций $e$. В частности:

$M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),$

(это также можно получить путем явных вычислений ) и

$\int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).$

Имеет место следующий результат:

$EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,$

и следующие значения второго момента и дисперсии могут быть рассчитаны по точной форме распределения и плотности:

$EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .$

Groeneboom (1989), лемма 4.2 дает выражение для преобразования Лапласа (плотности) $\int _{0}^{1}e(t)\,dt$. Формула для некоторого двойного преобразования распределения этого интеграла площади дана Лушаром (1984).

Гроенбум (1983) и Питман (1983) дают разложение броуновского движения. $W$ в терминах iid броуновских экскурсий и наименее вогнутой мажоранты (или наибольшей выпуклой миноранты) $W$.

Введение в Ито общую теорию броуновских отклонений Ито и пуассоновский процесс отклонений см. в Revuz and Yor (1994), глава XII.

Соединения и приложения

Броуновская экскурсионная зона

$A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt$

возникает в связи с перечислением связных графов, многими другими задачами комбинаторной теории; см., например и предельное распределение чисел Бетти некоторых многообразий в теории когомологий. Такач (1991a) показывает, что $A_{+}$ имеет плотность

$f_{A_{+}}(x)={\frac {2{\sqrt {6}}}{x^{2}}}\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}^{2/3}e^{-v_{j}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3}};v_{j}\right)\ \ {\text{ with }}\ \ v_{j}={\frac {2|a_{j}|^{3}}{27x^{2}}}$

где $a_{j}$ являются нулями функции Эйри и $U$ – вырожденная гипергеометрическая функция . Янсон и Лушар (2007) показывают, что

$f_{A_{+}}(x)\sim {\frac {72{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}x^{2}e^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty ,$

и

$P(A_{+}>x)\sim {\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}xe^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty .$

В обоих случаях они также дают разложения более высокого порядка.

Янсон (2007) дает моменты $A_{+}$ и многие другие функциональные области. В частности,

$E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .$

Броуновские экскурсии возникают также в связи с проблемы с очередями, железнодорожное движение, и высоты случайных корневых бинарных деревьев.

Связанные процессы

• Броуновский мост
• Броуновский меандр
• отраженное броуновское движение
• искажённое броуновское движение

Ссылки

• Чунг, КЛ (1975). «Максимы в броуновских экскурсах» . Бюллетень Американского математического общества . 81 (4): 742–745. дои : 10.1090/s0002-9904-1975-13852-3 . МР   0373035 .
• Чунг , К.Л. (1976). «Экскурсии по броуновскому движению» . Архив по математике . 14 (1): 155–177. Бибкод : 1976АрМ....14..155С . дои : 10.1007/bf02385832 . МР   0467948 .
• Дарретт, Ричард Т.; Иглхарт, Дональд Л. (1977). «Функционалы броуновского меандра и броуновского отклонения» . Анналы вероятности . 5 (1): 130–135. дои : 10.1214/aop/1176995896 . JSTOR   2242808 . МР   0436354 .
• Грюнбум, Пит (1983). «Вогнутая мажоранта броуновского движения» . Анналы вероятности . 11 (4): 1016–1027. дои : 10.1214/aop/1176993450 . JSTOR   2243513 . МР   0714964 .
• Грюнбум, Пит (1989). «Броуновское движение с параболическим дрейфом и функции Эйри» . Теория вероятностей и смежные области . 81 : 79–109. дои : 10.1007/BF00343738 . МР   0981568 . S2CID   119980629 .
• Ито, Кийоси ; Маккин-младший, Генри П. (2013) [1974]. Диффузионные процессы и пути их выборки . Классика математики (второе издание, исправленное изд.). Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  978-3540606291 . МР   0345224 .
• Янсон, Сванте (2007). «Броуновская область экскурсии, константы Райта при перечислении графов и другие броуновские области». Вероятностные исследования . 4 : 80–145. arXiv : 0704.2289 . Бибкод : 2007arXiv0704.2289J . дои : 10.1214/07-ps104 . МР   2318402 . S2CID   14563292 .
• Янсон, Сванте; Лушар, Гай (2007). «Основные оценки для броуновской экскурсионной зоны и других броуновских областей» . Электронный журнал вероятностей . 12 : 16 :00–1632. arXiv : 0707.0991 . Бибкод : 2007arXiv0707.0991J . дои : 10.1214/ejp.v12-471 . МР   2365879 . S2CID   6281609 .
• Кеннеди, Дуглас П. (1976). «Распределение максимального броуновского отклонения». Журнал прикладной вероятности . 13 (2): 371–376. дои : 10.2307/3212843 . JSTOR   3212843 . МР   0402955 . S2CID   222386970 .
• Леви, Поль (1948). Стохастические процессы и броуновское движение . Готье-Виллар, Париж. МР   0029120 .
• Лушар, Г. (1984). «Формула Каца, местное время Леви и броуновская экскурсия». Журнал прикладной вероятности . 21 (3): 479–499. дои : 10.2307/3213611 . JSTOR   3213611 . МР   0752014 . S2CID   123640749 .
• Питман, JW (1983). «Замечания о выпуклой миноранте броуновского движения». Семинар по случайным процессам, 1982 г. прогр. Вероятно. Статист. Том. 5. Биркхаузер, Бостон. стр. 219–227. МР   0733673 .
• Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (2004). Непрерывные мартингалы и броуновское движение . Основные принципы математических наук. Том 293. Springer-Verlag, Берлин. дои : 10.1007/978-3-662-06400-9 . ISBN  978-3-642-08400-3 . МР   1725357 .
• Верваат, В. (1979). «Связь между Броуновским мостом и Броуновской экскурсией» . Анналы вероятности . 7 (1): 143–149. дои : 10.1214/aop/1176995155 . JSTOR   2242845 . МР   0515820 .