Формула Дынкина

В математике , в частности в стохастическом анализе , формула Дынкина представляет собой теорему, дающую ожидаемое значение любой достаточно гладкой функции, примененной к процессу Феллера во время остановки . Ее можно рассматривать как стохастическое обобщение (второй) фундаментальной теоремы исчисления . Назван в честь российского математика Евгения Дынкина .

Формулировка теоремы

Позволять $X$ быть процессом Феллера с бесконечно малым генератором $A$. Для точки $x$ в пространстве состояний $X$, позволять $\mathbf {P} ^{x}$ обозначим закон $X$ заданные исходные данные $X_{0}=x$, и пусть $\mathbf {E} ^{x}$ обозначают ожидание относительно $\mathbf {P} ^{x}$. Тогда для любой функции $f$ в области $A$, и любое время остановки $\tau$ с $\mathbf {E} [\tau ]<+\infty$, справедлива формула Дынкина :

$\mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$

Пример: вещание Ито

Позволять $X$ быть $\mathbf {R} ^{n}$-значная диффузия Ито , решающая стохастическое дифференциальное уравнение

$\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.$

Бесконечно малый генератор $A$ из $X$ определяется его действием на компактный $C^{2}$ (дважды дифференцируемые с непрерывной второй производной) функции $f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R}$ как

$Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}$

или, что то же самое,

$Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).$

Поскольку это $X$ является процессом Феллера, то справедлива формула Дынкина. Фактически, если $\tau$ это первое время выхода из ограниченного множества $B\subset \mathbf {R} ^{n}$ с $\mathbf {E} [\tau ]<+\infty$, то формула Дынкина справедлива для всех $C^{2}$ функции $f$, без предположения компактного носителя.

Применение: Броуновское движение при выходе из шара.

Формулу Дынкина можно использовать для определения ожидаемого времени первого выхода. $\tau _{K}$ броуновского движения $B$ из закрытого шара $K=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:\,|x|\leq R\},$ который, когда $B$ начинается в точке $a$ в интерьере ​ $K$, определяется

$\mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.$

Это показано следующим образом. Зафиксируйте целое число j . Стратегия заключается в применении формулы Дынкина с $X=B$, $\tau =\sigma _{j}=\min\{j,\tau _{K}\}$и компактно поддерживаемый $f\in C^{2}$ с $f(x)=|x|^{2}$ на $K$. Генератор броуновского движения – это $\Delta /2$, где $\Delta$ обозначает оператор Лапласа . Следовательно, по формуле Дынкина

${\begin{aligned}\mathbf {E} ^{a}\left[f{\big (}B_{\sigma _{j}}{\big )}\right]&=f(a)+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}{\frac {1}{2}}\Delta f(B_{s})\,\mathrm {d} s\right]\\&=|a|^{2}+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}n\,\mathrm {d} s\right]=|a|^{2}+n\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}].\end{aligned}}$

Следовательно, для любого $j$,

$\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}]\leq {\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.$

Теперь позвольте $j\to +\infty$ сделать вывод, что $\tau _{K}=\lim _{j\to +\infty }\sigma _{j}<+\infty$ почти наверняка и так $\mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]=(R^{2}-|a|^{2})/n$ как заявлено.

Ссылки

Источники

• Дынкин Евгений Борисович ; пер. Дж. Фабиус; В. Гринберг; А. Майтра; Г. Маджоне (1965). Марковские процессы. Том. Я, II . Фундаментальные учения математических наук, тома 121. Нью-Йорк: Academic Press Inc. (см. Том I, стр. 133).
• Калленберг, Олав (2021). Основы современной вероятности (третье изд.). Спрингер. ISBN  978-3-030-61870-4 .
• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . (См. раздел 7.4)