Регенеративный процесс
В прикладной теории вероятности регенеративный процесс — это класс случайных процессов, обладающий тем свойством, что определенные части процесса можно рассматривать как статистически независимые друг от друга. [2] Это свойство можно использовать при выводе теоретических свойств таких процессов.
История
[ редактировать ]Регенеративные процессы были впервые определены Уолтером Л. Смитом в Трудах Королевского общества А в 1955 году. [3] [4]
Определение
[ редактировать ]Регенеративный процесс — это случайный процесс с моментами времени, в которые, с вероятностной точки зрения, процесс возобновляется. [5] Эти моменты времени сами по себе могут определяться развитием процесса. Другими словами, процесс { X ( t ), t ≥ 0} является регенеративным процессом, если существуют моменты времени 0 ≤ T 0 < T 1 < T 2 < ... такие, что пост -T k процесс { X ( Т k + т ) : т ≥ 0}
- имеет то же распределение, что и процесс после T 0 { X ( T 0 + t ) : t ≥ 0}
- не зависит от процесса до T k { X ( t ) : 0 ≤ t < T k }
для к ≥ 1. [6] Интуитивно это означает, что регенеративный процесс можно разделить на iid- циклы. [7]
Когда T 0 = 0, X ( t ) называется беззапаздывающим регенеративным процессом . Иначе этот процесс называется замедленным регенеративным процессом . [6]
Примеры
[ редактировать ]- Процессы обновления являются регенеративными процессами, при этом Т 1 является первым обновлением. [5]
- Попеременные процессы обновления , при которых система поочередно переходит из состояния «включено» в состояние «выключено». [5]
- Рекуррентная цепь Маркова представляет собой регенеративный процесс, причем T 1 является временем первого повторения. [5] Сюда входят цепи Харриса .
- Отраженное броуновское движение — это регенеративный процесс (когда измеряется время, необходимое частицам для ухода и возвращения). [7]
Характеристики
[ редактировать ]- По теореме о вознаграждении за возобновление с вероятностью 1 [8]
![{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}} \int _{0}^{t}X(s)ds = {\frac {\mathbb {E} [R ]}{\mathbb {E} [\tau ]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be9350adf772ff867cbb45a686b909bb1e86cac)
- где длина первого цикла и значение за первый цикл.
- Измеримой функцией регенеративного процесса является регенеративный процесс с одинаковым временем регенерации. [8]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хертер, AP; Каминский, ФК (1967). «Применение регенеративных стохастических процессов к задаче управления запасами». Исследование операций . 15 (3): 467–472. дои : 10.1287/опре.15.3.467 . JSTOR 168455 .
- ^ Росс, С.М. (2010). «Теория обновления и ее приложения». Введение в вероятностные модели . стр. 421–641. дои : 10.1016/B978-0-12-375686-2.00003-0 . ISBN 9780123756862 .
- ^ Шеллхаас, Хельмут (1979). «Полурегенеративные процессы с неограниченным вознаграждением». Математика исследования операций . 4 : 70–78. дои : 10.1287/moor.4.1.70 . JSTOR 3689240 .
- ^ Смит, WL (1955). «Регенеративные случайные процессы». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 232 (1188): 6–31. Бибкод : 1955RSPSA.232....6S . дои : 10.1098/rspa.1955.0198 .
- ^ Перейти обратно: а б с д Шелдон М. Росс (2007). Введение в вероятностные модели . Академическая пресса. п. 442. ИСБН 0-12-598062-0 .
- ^ Перейти обратно: а б Хаас, Питер Дж . (2002). «Регенеративное моделирование». Стохастические сети Петри . Серия Springer по исследованию операций и финансовой инженерии. стр. 189–273. дои : 10.1007/0-387-21552-2_6 . ISBN 0-387-95445-7 .
- ^ Перейти обратно: а б Асмуссен, Сорен (2003). «Регенеративные процессы». Прикладная вероятность и очереди . Стохастическое моделирование и прикладная теория вероятности. Том. 51. С. 168–185. дои : 10.1007/0-387-21525-5_6 . ISBN 978-0-387-00211-8 .
- ^ Перейти обратно: а б Сигман, Карл (2009) Регенеративные процессы , конспекты лекций