Сеть Харрис

В математическом исследовании случайных процессов цепь Харриса представляет собой цепь Маркова , в которой цепь возвращается в определенную часть пространства состояний неограниченное количество раз. ^[1] Цепи Харриса представляют собой регенеративные процессы и названы в честь Теодора Харриса . Теория цепей Харриса и рекуррентности Харриса полезна для рассмотрения цепей Маркова в общих (возможно, несчетно бесконечных) пространствах состояний.

Определение

Позволять $\{X_{n}\}$ быть цепью Маркова в общем пространстве состояний $\Omega$ со стохастическим ядром $K$ . Ядро представляет собой обобщенный закон вероятности одношагового перехода, так что $P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=K(x,C)$ для всех штатов $x$ в $\Omega$ и все измеримые множества $C\subseteq \Omega$ . Цепь $\{X_{n}\}$ это сеть магазинов Harris ^[2] если существует $A\subseteq \Omega ,\varepsilon >0$ , и вероятностная мера $\rho$ с $\rho (\Omega )=1$ такой, что

Если $\tau _{A}:=\inf\{n\geq 0:X_{n}\in A\}$ , затем $P(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x)=1$ для всех $x\in \Omega$ .
Если $x\in A$ и $C\subseteq \Omega$ (где $C$ измеримо), то $K(x,C)\geq \varepsilon \rho (C)$ .

Первая часть определения гарантирует, что цепочка вернется в некоторое состояние внутри $A$ с вероятностью 1, независимо от того, где оно начинается. Отсюда следует, что он посещает штат $A$ бесконечно часто (с вероятностью 1). Вторая часть подразумевает, что как только цепь Маркова находится в состоянии $A$ , его следующее состояние может быть сгенерировано с помощью независимого подбрасывания монеты Бернулли. Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что параметр $\varepsilon$ должно быть между 0 и 1 (это можно показать, применив вторую часть определения к множеству $C=\Omega$ ). Теперь позвольте $x$ быть точкой в $A$ и предположим $X_{n}=x$ . Чтобы выбрать следующее состояние $X_{n+1}$ , самостоятельно подбросить необъективную монету с вероятностью успеха $\varepsilon$ . Если подбрасывание монеты прошло успешно, выберите следующее состояние. $X_{n+1}\in \Omega$ по мере вероятности $\rho$ . В противном случае (и если $\varepsilon <1$ ), выберите следующее состояние $X_{n+1}$ в соответствии с мерой $P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=(K(x,C)-\varepsilon \rho (C))/(1-\varepsilon )$ (определено для всех измеримых подмножеств $C\subseteq \Omega$ ).

Два случайных процесса $\{X_{n}\}$ и $\{Y_{n}\}$ которые имеют одинаковый закон вероятности и являются цепями Харриса согласно приведенному выше определению, можно соединить следующим образом: Предположим, что $X_{n}=x$ и $Y_{n}=y$ , где $x$ и $y$ являются точками в $A$ . Используя одно и то же подбрасывание монеты для определения следующего состояния обоих процессов, следует, что следующие состояния одинаковы с вероятностью, по крайней мере, $\varepsilon$ .

Примеры

Пример 1: Счётное пространство состояний

Пусть Ω — счетное пространство состояний. Ядро K определяется вероятностями одношагового условного перехода P[ X _{n +1} = y | X _n = x ] для x , y ∈ Ω. Мера ρ является функцией вероятностной массы на состояниях, так что ρ ( x ) ≥ 0 для всех x ∈ Ω, а сумма вероятностей ρ (x) равна единице. Предположим, что приведенное выше определение удовлетворяется для заданное множество A ⊆ Ω и заданный параметр ε > 0. Тогда P[ X _{n +1} = c | X _n = x ] ≥ ερ ( c ) для всех x ∈ A и всех c ∈ Ω.

Пример 2: Цепи с непрерывной плотностью

Пусть { X _n }, X _n ∈ R ^д — цепь Маркова с ядром , абсолютно непрерывным относительно меры Лебега :

K ( Икс , dy ) знак равно K ( Икс , y ) dy

такой, что K ( x , y ) является непрерывной функцией .

Выберите ( x ₀ , y ₀ ) такие, что K ( x ₀ , y ₀ ) > 0, и пусть A и Ω — открытые множества, содержащие x ₀ и y ₀ соответственно, которые достаточно малы, так что K ( x , y ) ≥ ε > 0 на A × Ω. Полагая ρ ( C ) = |Ω ∩ C |/|Ω| где |Ом| является мерой Лебега Ω, мы имеем, что (2) в приведенном выше определении выполнено. Если (1) выполнено, то { X _n } — цепь Харриса.

Сводимость и периодичность

В следующем $R:=\inf\{n\geq 1:X_{n}\in A\}$ ; т.е. $R$ это первый раз после времени 0, когда процесс входит в область $A$ . Позволять $\mu$ обозначаем начальное распределение цепи Маркова, т.е. $X_{0}\sim \mu$ .

Определение: Если для всех $\mu$ , $P[R<\infty |X_{0}\in A]=1$ , то цепь Харриса называется рекуррентной.

Определение: рекуррентная цепь Харриса. $X_{n}$ является апериодическим, если $\exists N$ , такой, что $\forall n\geq N$ , $\forall \mu ,P[X_{n}\in A|X_{0}\in A]>0$

Теорема: Пусть $X_{n}$ быть апериодической рекуррентной цепью Харриса со стационарным распределением. $\pi$ . Если $P[R<\infty |X_{0}\in A]=1$ тогда как $n\rightarrow \infty$ , $||{\mathcal {L}}(X_{n}|X_{0})-\pi ||_{TV}\rightarrow 0$ где $||\cdot ||_{TV}$ обозначает общую вариацию знаковых мер, определенных в одном и том же измеримом пространстве.

Ссылки

^ Асмуссен, Сорен (2003). «Дальнейшие темы теории обновления и регенеративных процессов». Прикладная вероятность и очереди . Стохастическое моделирование и прикладная теория вероятности. Том. 51. стр. 186–219. дои : 10.1007/0-387-21525-5_7 . ISBN 978-0-387-00211-8 .
^ Р. Дарретт. Вероятность: теория и примеры . Томсон, 2005. ISBN 0-534-42441-4 .

[1] Асмуссен, Сорен (2003). «Дальнейшие темы теории обновления и регенеративных процессов». Прикладная вероятность и очереди . Стохастическое моделирование и прикладная теория вероятности. Том. 51. стр. 186–219. дои : 10.1007/0-387-21525-5_7 . ISBN 978-0-387-00211-8 .

[2] Р. Дарретт. Вероятность: теория и примеры . Томсон, 2005. ISBN 0-534-42441-4 .

[1]

[2]