Concept in probability theory
В теории вероятностей марковское ядро (также известное как стохастическое ядро или вероятностное ядро ) — это отображение, которое в общей теории марковских процессов играет ту же роль, что и матрица перехода в теории марковских процессов с конечным пространством состояний . [1]
Позволять
и
быть измеримыми пространствами . Ядро Маркова с исходным кодом
и цель
, иногда пишется как
, является функцией
со следующими свойствами:
- За каждый (фиксированный)
, карта
является
- измеримый
- За каждый (фиксированный)
, карта
является вероятностной мерой 
Другими словами, он соответствует каждой точке
мера вероятностная
на
такая, что для любого измеримого множества
, карта
измеримо относительно
-алгебра
. [2]
Брать
, и
( силовой набор
). Тогда ядро Маркова полностью определяется вероятностью, которую оно присваивает одиночным элементам.
для каждого
:
.
Теперь случайное блуждание
это идет вправо с вероятностью
и влево с вероятностью
определяется

где
это дельта Кронекера . Вероятности перехода
для случайного блуждания эквивалентны ядру Маркова.
В общем возьмите
и
как счетные, так и
.
Опять же, ядро Маркова определяется вероятностью, которую оно присваивает одноэлементным наборам для каждого
,
Мы определяем марковский процесс, определяя вероятность перехода
где цифры
определить (счетную) стохастическую матрицу
то есть

Затем мы определяем
.
Опять же, вероятность перехода, стохастическая матрица и ядро Маркова являются эквивалентными переформулировками.
Ядро Маркова, определяемое ядерной функцией и мерой
[ редактировать ]
Позволять
быть мерой
, и
по измеримая функция отношению к продукту
-алгебра
такой, что
,
затем
то есть отображение
![{\displaystyle {\begin{cases}\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x )\nu (\mathrm {d} y)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108781193dc73ba702e77da371698684096dec55)
определяет ядро Маркова. [3] Этот пример обобщает пример счетного марковского процесса, где
был счетной мерой . Более того, он включает в себя и другие важные примеры, такие как ядра свертки, в частности ядра Маркова, определенные уравнением теплопроводности. Последний пример включает ядро Гаусса на
с
стандартная мера Лебега и
.
Брать
и
произвольные измеримые пространства и пусть
быть измеримой функцией. Теперь определите
то есть
для всех
.
Обратите внимание, что индикаторная функция
является
-измеримо для всех
если только
измерима.
Этот пример позволяет нам думать о ядре Маркова как об обобщенной функции со (в общем) случайным, а не определенным значением. То есть это многозначная функция , значения которой не имеют одинакового веса.
В качестве менее очевидного примера возьмем
, и
настоящие цифры
со стандартной сигма-алгеброй борелевских множеств . Затем

где
это количество элементов в состоянии
,
являются iid случайными величинами (обычно со средним значением 0) и где
– индикаторная функция. Для простого случая подбрасывания монеты это моделирует различные уровни доски Гальтона .
Учитывая измеримые пространства
,
мы рассматриваем ядро Маркова
как морфизм
. Интуитивно, а не присваивать каждому
четко выраженная точка
ядро назначает «нечеткую» точку
который известен только с некоторым уровнем неопределенности, как и реальные физические измерения. Если у нас есть третье измеримое пространство
и вероятностные ядра
и
, мы можем определить композицию
по уравнению Чепмена-Колмогорова
.
Композиция ассоциативна в силу теоремы о монотонной сходимости и тождественной функции, рассматриваемой как ядро Маркова (т. е. дельта-мера
) — единица измерения этой композиции.
Эта композиция определяет структуру категории на измеримых пространствах с марковскими ядрами как морфизмы, впервые определенные Ловером: [4] категория марковских ядер .
Вероятностное пространство, определяемое распределением вероятностей и марковским ядром
[ редактировать ]
Композиция вероятностного пространства
и вероятностное ядро
определяет вероятностное пространство
, где вероятностная мера определяется выражением

Позволять
быть вероятностным пространством и
ядро Маркова из
некоторым
. Тогда существует единственная мера
на
, такой, что:

Позволять
быть борелевским пространством ,
а
-значная случайная величина в пространстве меры
и
суб-
-алгебра. Тогда существует марковское ядро
от
к
, такой, что
это версия условного ожидания
для каждого
, то есть
![{\displaystyle P(X\in B\mid {\mathcal {G}})=\mathbb {E} \left[\mathbf {1}_ {\{X\in B\}}\mid {\mathcal { G}}\right]=\kappa (\cdot ,B),\qquad P{\text{-as}}\,\,\forall B\in {\mathcal {G}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c55d8e1b610aff7692854fdf6dcb544680b221)
Это называется регулярным условным распределением
данный
и не определяется однозначно.
Переходные ядра обобщают марковские ядра в том смысле, что для всех
, карта

может быть любым типом (неотрицательной) меры, не обязательно вероятностной.
- §36. Ядра и полугруппы ядер