Jump to content

Марковское ядро

(Перенаправлено из ядра стохастика )

В теории вероятностей марковское ядро ​​(также известное как стохастическое ядро ​​или вероятностное ядро ) — это отображение, которое в общей теории марковских процессов играет ту же роль, что и матрица перехода в теории марковских процессов с конечным пространством состояний . [1]

Формальное определение

[ редактировать ]

Позволять и быть измеримыми пространствами . Ядро Маркова с исходным кодом и цель , иногда пишется как , является функцией со следующими свойствами:

  1. За каждый (фиксированный) , карта является - измеримый
  2. За каждый (фиксированный) , карта является вероятностной мерой

Другими словами, он соответствует каждой точке мера вероятностная на такая, что для любого измеримого множества , карта измеримо относительно -алгебра . [2]

Брать , и ( силовой набор ). Тогда ядро ​​Маркова полностью определяется вероятностью, которую оно присваивает одиночным элементам. для каждого :

.

Теперь случайное блуждание это идет вправо с вероятностью и влево с вероятностью определяется

где это дельта Кронекера . Вероятности перехода для случайного блуждания эквивалентны ядру Маркова.

Общие марковские процессы со счетным пространством состояний

[ редактировать ]

В общем возьмите и как счетные, так и . Опять же, ядро ​​Маркова определяется вероятностью, которую оно присваивает одноэлементным наборам для каждого

,

Мы определяем марковский процесс, определяя вероятность перехода где цифры определить (счетную) стохастическую матрицу то есть

Затем мы определяем

.

Опять же, вероятность перехода, стохастическая матрица и ядро ​​Маркова являются эквивалентными переформулировками.

Ядро Маркова, определяемое ядерной функцией и мерой

[ редактировать ]

Позволять быть мерой , и по измеримая функция отношению к продукту -алгебра такой, что

,

затем то есть отображение

определяет ядро ​​Маркова. [3] Этот пример обобщает пример счетного марковского процесса, где был счетной мерой . Более того, он включает в себя и другие важные примеры, такие как ядра свертки, в частности ядра Маркова, определенные уравнением теплопроводности. Последний пример включает ядро ​​Гаусса на с стандартная мера Лебега и

.

Измеримые функции

[ редактировать ]

Брать и произвольные измеримые пространства и пусть быть измеримой функцией. Теперь определите то есть

для всех .

Обратите внимание, что индикаторная функция является -измеримо для всех если только измерима.

Этот пример позволяет нам думать о ядре Маркова как об обобщенной функции со (в общем) случайным, а не определенным значением. То есть это многозначная функция , значения которой не имеют одинакового веса.

В качестве менее очевидного примера возьмем , и настоящие цифры со стандартной сигма-алгеброй борелевских множеств . Затем

где это количество элементов в состоянии , являются iid случайными величинами (обычно со средним значением 0) и где – индикаторная функция. Для простого случая подбрасывания монеты это моделирует различные уровни доски Гальтона .

Состав марковских ядер

[ редактировать ]

Учитывая измеримые пространства , мы рассматриваем ядро ​​Маркова как морфизм . Интуитивно, а не присваивать каждому четко выраженная точка ядро назначает «нечеткую» точку который известен только с некоторым уровнем неопределенности, как и реальные физические измерения. Если у нас есть третье измеримое пространство и вероятностные ядра и , мы можем определить композицию по уравнению Чепмена-Колмогорова

.

Композиция ассоциативна в силу теоремы о монотонной сходимости и тождественной функции, рассматриваемой как ядро ​​Маркова (т. е. дельта-мера ) — единица измерения этой композиции.

Эта композиция определяет структуру категории на измеримых пространствах с марковскими ядрами как морфизмы, впервые определенные Ловером: [4] категория марковских ядер .

Вероятностное пространство, определяемое распределением вероятностей и марковским ядром

[ редактировать ]

Композиция вероятностного пространства и вероятностное ядро определяет вероятностное пространство , где вероятностная мера определяется выражением

Характеристики

[ редактировать ]

Полупрямой продукт

[ редактировать ]

Позволять быть вероятностным пространством и ядро Маркова из некоторым . Тогда существует единственная мера на , такой, что:

Регулярное условное распределение

[ редактировать ]

Позволять быть борелевским пространством , а -значная случайная величина в пространстве меры и суб- -алгебра. Тогда существует марковское ядро от к , такой, что это версия условного ожидания для каждого , то есть

Это называется регулярным условным распределением данный и не определяется однозначно.

Обобщения

[ редактировать ]

Переходные ядра обобщают марковские ядра в том смысле, что для всех , карта

может быть любым типом (неотрицательной) меры, не обязательно вероятностной.

[ редактировать ]
  1. ^ Рейсс, Р.Д. (1993). Курс точечных процессов . Серия Спрингера по статистике. дои : 10.1007/978-1-4613-9308-5 . ISBN  978-1-4613-9310-8 .
  2. ^ Кленке, Ахим (2014). Теория вероятностей: комплексный курс . Университетский текст (2-е изд.). Спрингер. п. 180. дои : 10.1007/978-1-4471-5361-0 . ISBN  978-1-4471-5360-3 .
  3. ^ Эрхан, Цинлар (2011). Вероятность и стохастика . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 37–38. ISBN  978-0-387-87858-4 .
  4. ^ Ф. В. Ловере (1962). «Категория вероятностных отображений» (PDF) .
  • Бауэр, Хайнц (1996), Теория вероятностей , де Грюйтер, ISBN  3-11-013935-9
§36. Ядра и полугруппы ядер

См. также

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e7cdc42f10da7b102cc1f1f89e8f5e00__1722066780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e7/00/e7cdc42f10da7b102cc1f1f89e8f5e00.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Markov kernel - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)