Concept in probability theory
В теории вероятностей марковское ядро (также известное как стохастическое ядро или вероятностное ядро ) — это отображение, которое в общей теории марковских процессов играет ту же роль, что и матрица перехода в теории марковских процессов с конечным пространством состояний . [1]
Позволять и быть измеримыми пространствами . Ядро Маркова с исходным кодом и цель , иногда пишется как , является функцией со следующими свойствами:
- За каждый (фиксированный) , карта является - измеримый
- За каждый (фиксированный) , карта является вероятностной мерой
Другими словами, он соответствует каждой точке мера вероятностная на такая, что для любого измеримого множества , карта измеримо относительно -алгебра . [2]
Брать , и ( силовой набор ). Тогда ядро Маркова полностью определяется вероятностью, которую оно присваивает одиночным элементам. для каждого :
- .
Теперь случайное блуждание это идет вправо с вероятностью и влево с вероятностью определяется
где это дельта Кронекера . Вероятности перехода для случайного блуждания эквивалентны ядру Маркова.
В общем возьмите и как счетные, так и .
Опять же, ядро Маркова определяется вероятностью, которую оно присваивает одноэлементным наборам для каждого
- ,
Мы определяем марковский процесс, определяя вероятность перехода где цифры определить (счетную) стохастическую матрицу то есть
Затем мы определяем
- .
Опять же, вероятность перехода, стохастическая матрица и ядро Маркова являются эквивалентными переформулировками.
Ядро Маркова, определяемое ядерной функцией и мерой
[ редактировать ]
Позволять быть мерой , и по измеримая функция отношению к продукту -алгебра такой, что
- ,
затем то есть отображение
определяет ядро Маркова. [3] Этот пример обобщает пример счетного марковского процесса, где был счетной мерой . Более того, он включает в себя и другие важные примеры, такие как ядра свертки, в частности ядра Маркова, определенные уравнением теплопроводности. Последний пример включает ядро Гаусса на с стандартная мера Лебега и
- .
Брать и произвольные измеримые пространства и пусть быть измеримой функцией. Теперь определите то есть
- для всех .
Обратите внимание, что индикаторная функция является -измеримо для всех если только измерима.
Этот пример позволяет нам думать о ядре Маркова как об обобщенной функции со (в общем) случайным, а не определенным значением. То есть это многозначная функция , значения которой не имеют одинакового веса.
В качестве менее очевидного примера возьмем , и настоящие цифры со стандартной сигма-алгеброй борелевских множеств . Затем
где это количество элементов в состоянии , являются iid случайными величинами (обычно со средним значением 0) и где – индикаторная функция. Для простого случая подбрасывания монеты это моделирует различные уровни доски Гальтона .
Учитывая измеримые пространства , мы рассматриваем ядро Маркова как морфизм . Интуитивно, а не присваивать каждому четко выраженная точка ядро назначает «нечеткую» точку который известен только с некоторым уровнем неопределенности, как и реальные физические измерения. Если у нас есть третье измеримое пространство и вероятностные ядра и , мы можем определить композицию по уравнению Чепмена-Колмогорова
- .
Композиция ассоциативна в силу теоремы о монотонной сходимости и тождественной функции, рассматриваемой как ядро Маркова (т. е. дельта-мера ) — единица измерения этой композиции.
Эта композиция определяет структуру категории на измеримых пространствах с марковскими ядрами как морфизмы, впервые определенные Ловером: [4] категория марковских ядер .
Вероятностное пространство, определяемое распределением вероятностей и марковским ядром
[ редактировать ]
Композиция вероятностного пространства и вероятностное ядро определяет вероятностное пространство , где вероятностная мера определяется выражением
Позволять быть вероятностным пространством и ядро Маркова из некоторым . Тогда существует единственная мера на , такой, что:
Позволять быть борелевским пространством , а -значная случайная величина в пространстве меры и суб- -алгебра. Тогда существует марковское ядро от к , такой, что это версия условного ожидания для каждого , то есть
Это называется регулярным условным распределением данный и не определяется однозначно.
Переходные ядра обобщают марковские ядра в том смысле, что для всех , карта
может быть любым типом (неотрицательной) меры, не обязательно вероятностной.
- §36. Ядра и полугруппы ядер