Переходное ядро

В математике вероятностей переходное ядро ​​или ядро ​​— это функция математическая , имеющая различные приложения. Ядра можно, например, использовать для определения случайных показателей или случайных процессов . Наиболее важным примером ядер являются ядра Маркова .

Определение

Позволять $(S,{\mathcal {S}})$, $(T,{\mathcal {T}})$ быть двумя измеримыми пространствами . Функция

$\kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]$

называется (переходным) ядром из $S$ к $T$ если выполняются следующие два условия:

• Для любого фиксированного $B\in {\mathcal {T}}$, отображение

$s\mapsto \kappa (s,B)$

является ${\mathcal {S}}/{\mathcal {B}}([0,+\infty ])$- измеримый ;

• Для каждого фиксированного $s\in S$, отображение

$B\mapsto \kappa (s,B)$

это мера по $(T,{\mathcal {T}})$.

Классификация переходных ядер

Переходные ядра обычно классифицируются по определяемым ими мерам. Эти меры определяются как

$\kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]$

с

$\kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)$

для всех $B\in {\mathcal {T}}$ и все $s\in S$. В этих обозначениях ядро $\kappa$ называется

• субстохастическое ядро , субвероятностное ядро ​​или субмарковское ядро, если все $\kappa _{s}$ являются мерами субвероятности
• ядро Маркова , стохастическое ядро ​​или вероятностное ядро, если все $\kappa _{s}$ являются вероятностными мерами
• если конечное ядро, все $\kappa _{s}$ являются конечными мерами
• а $\sigma$-конечное ядро, если все $\kappa _{s}$ являются $\sigma$-конечные меры
• s -конечное ядро, если все $\kappa _{s}$ являются $s$-конечные меры , то есть это ядро, которое можно записать в виде счетной суммы конечных ядер.
• равномерно ​ $\sigma$-конечное ядро , если измеримых множеств не более счетного числа. $B_{1},B_{2},\dots$ в $T$ с $\kappa _{s}(B_{i})<\infty$ для всех $s\in S$ и все $i\in \mathbb {N}$.

Операции

В этом разделе пусть $(S,{\mathcal {S}})$, $(T,{\mathcal {T}})$ и $(U,{\mathcal {U}})$ — измеримые пространства и обозначают произведение σ- алгебры ${\mathcal {S}}$ и ${\mathcal {T}}$ с ${\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}$

Продукт из ядер

Определение

Позволять $\kappa ^{1}$ быть s-конечным ядром из $S$ к $T$ и $\kappa ^{2}$ быть s-конечным ядром из $S\times T$ к $U$. Тогда продукт $\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}$ из двух ядер определяется как

$\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]$

$\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)$

для всех $A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}$.

Свойства и комментарии

Произведением двух ядер является ядро ​​из $S$ к $T\times U$. Это снова s-конечное ядро ​​и $\sigma$-конечное ядро, если $\kappa ^{1}$ и $\kappa ^{2}$ являются $\sigma$-конечные ядра. Произведение ядер также ассоциативно , то есть оно удовлетворяет

$(\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})$

для любых трех подходящих s-конечных ядер $\kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}$.

Произведение также является вполне определенным, если $\kappa ^{2}$ это ядро ​​от $T$ к $U$. В этом случае оно рассматривается как ядро ​​из $S\times T$ к $U$ это независимо от $S$. Это эквивалентно установке

$\kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)$

для всех $A\in {\mathcal {U}}$ и все $s\in S$.

Состав ядер

Определение

Позволять $\kappa ^{1}$ быть s-конечным ядром из $S$ к $T$ и $\kappa ^{2}$ s-конечное ядро ​​из $S\times T$ к $U$. Тогда композиция $\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}$ из двух ядер определяется как

$\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]$

$(s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)$

для всех $s\in S$ и все $B\in {\mathcal {U}}$.

Свойства и комментарии

Состав представляет собой ядро ​​из $S$ к $U$ это снова s-конечно. Состав ядер ассоциативен , то есть удовлетворяет

$(\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})$

для любых трех подходящих s-конечных ядер $\kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}$. Как и продукт ядер, состав также вполне определен, если $\kappa ^{2}$ это ядро ​​от $T$ к $U$.

Альтернативное обозначение композиции: $\kappa ^{1}\kappa ^{2}$

Ядра как операторы

Позволять ${\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}$ — множество положительных измеримых функций на $(S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})$.

Каждое ядро $\kappa$ от $S$ к $T$ может быть сопоставлен с линейным оператором

$A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}$

данный

$(A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).$

Композиция этих операторов совместима с композицией ядер, т.е.

$A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}$