Распределение Бернулли
Функция массы вероятности Три примера распределения Бернулли: и
и
и | |||
Параметры |
| ||
---|---|---|---|
Поддерживать | |||
ПМФ | |||
CDF | |||
Иметь в виду | |||
медиана | |||
Режим | |||
Дисперсия | |||
БЕЗУМНЫЙ | |||
асимметрия | |||
Избыточный эксцесс | |||
Энтропия | |||
МГФ | |||
CF | |||
ПГФ | |||
Информация о Фишере |
Часть серии по статистике. |
Теория вероятности |
---|
![]() |
В теории вероятностей и статистике , распределение Бернулли названное в честь швейцарского математика Якоба Бернулли , [1] - дискретное распределение вероятностей , случайной величины принимающей значение 1 с вероятностью и значение 0 с вероятностью . Менее формально его можно рассматривать как модель набора возможных результатов любого отдельного эксперимента , в котором задается вопрос «да-нет» . Такие вопросы приводят к результатам , которые имеют логические значения: один бит , значение которого равно успех/ да / истина / единица с вероятностью p и неудача/нет/ ложь / ноль с вероятностью q . Его можно использовать для представления (возможно, необъективного) подбрасывания монеты , где 1 и 0 будут обозначать «орёл» и «решку» соответственно, а p будет вероятностью выпадения монеты орлом (или наоборот, где 1 будет обозначать решку). и p будет вероятностью решки). В частности, недобросовестные монеты имели бы
Распределение Бернулли — это частный случай биномиального распределения , когда проводится одно испытание (поэтому для такого биномиального распределения n будет равно 1). Это также частный случай двухточечного распределения , для которого возможные результаты не обязательно должны быть 0 и 1. [2]
Свойства [ править ]
Если — случайная величина с распределением Бернулли, то:
Функция массы вероятности этого распределения по возможным результатам k , равно
Это также можно выразить как
или как
Распределение Бернулли является частным случаем биномиального распределения с [4]
Эксцесс стремится к бесконечности для высоких и низких значений но для двухточечные распределения, включая распределение Бернулли, имеют меньший избыточный эксцесс , а именно -2, чем любое другое распределение вероятностей.
Распределения Бернулли для образуют экспоненциальное семейство .
максимального правдоподобия Оценка на основе случайной выборки – это выборочное среднее .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/PMF_and_CDF_of_a_bernouli_distribution.png/220px-PMF_and_CDF_of_a_bernouli_distribution.png)
Среднее [ править ]
Ожидаемое значение случайной величины Бернулли является
Это связано с тем, что для распределенной по Бернулли случайной величины с и мы нашли
Дисперсия [ править ]
Дисперсия Бернулли распределения является
Сначала мы находим
Из этого следует
Имея этот результат, легко доказать, что для любого распределения Бернулли его дисперсия будет иметь значение внутри .
Асимметрия [ править ]
Асимметрия . Когда мы берем стандартизированную распределенную случайную величину Бернулли мы находим, что эта случайная величина достигает с вероятностью и достигает с вероятностью . Таким образом мы получаем
моменты кумулянты Высшие и
Все необработанные моменты равны из-за того, что и .
Центральный момент заказа дан кем-то
Первые шесть центральных моментов
Высшие центральные моменты можно более компактно выразить через и
Первые шесть кумулянтов
Связанные дистрибутивы [ править ]
- Если являются независимыми, одинаково распределенными ( iid ) случайными величинами, все испытания Бернулли с вероятностью успеха p , то их сумма распределяется согласно биномиальному распределению с параметрами n и p :
- Распределение Бернулли — это просто , также записанный как
- Категориальное распределение является обобщением распределения Бернулли для переменных с любым постоянным числом дискретных значений.
- Бета -распределение является сопряженным априорным распределением Бернулли. [5]
- Геометрическое распределение моделирует количество независимых и идентичных испытаний Бернулли, необходимых для достижения одного успеха.
- Если , затем имеет распределение Радемахера .
См. также [ править ]
- Процесс Бернулли — случайный процесс , состоящий из последовательности независимых испытаний Бернулли.
- Выборка Бернулли
- Бинарная функция энтропии
- Бинарная диаграмма решений
Ссылки [ править ]
- ^ Успенский, Джеймс Виктор (1937). Введение в математическую вероятность . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 45. ОСЛК 996937 .
- ^ Декинг, Фредерик; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик; Местер, Людольф (9 октября 2010 г.). Современное введение в вероятность и статистику (1-е изд.). Спрингер Лондон. стр. 100-1 43–48. ISBN 9781849969529 .
- ^ Перейти обратно: а б с д Берцекас, Дмитрий П. (2002). Введение в вероятность . Цициклис, Джон Н. , Цициклис, Яннис Н. Бельмонт, Массачусетс: Athena Scientific. ISBN 188652940X . OCLC 51441829 .
- ^ МакКаллах, Питер ; Нелдер, Джон (1989). Обобщенные линейные модели, второе издание . Бока-Ратон: Чепмен и Холл/CRC. Раздел 4.2.2. ISBN 0-412-31760-5 .
- ^ Орлов, Джереми; Блум, Джонатан. «Сопряженные априоры: бета и норма» (PDF) . math.mit.edu . Проверено 20 октября 2023 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Джонсон, Нидерланды; Коц, С.; Кемп, А. (1993). Одномерные дискретные распределения (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-54897-9 .
- Питман, Джон Г. (1963). Введение в прикладную статистику . Нью-Йорк: Харпер и Роу. стр. 162–171.
Внешние ссылки [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- «Биномиальное распределение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994] .
- Вайсштейн, Эрик В. «Распределение Бернулли» . Математический мир .
- Интерактивная графика: Одномерные отношения распределения .