Профиль Фойгта

(В центре) Фойгт

Функция плотности вероятности График центрированного профиля Фойгта для четырех случаев. Полная ширина каждого корпуса на полувысоте составляет почти 3,6. Черный и красный профили представляют собой предельные случаи гауссова (γ =0) и лоренцева (σ =0) профилей соответственно.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\gamma ,\sigma >0$
Поддерживать	$x\in (-\infty ,\infty )$
PDF	${\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}$
CDF	(сложный - см. текст)
Иметь в виду	(не определено)
медиана	$0$
Режим	$0$
Дисперсия	(не определено)
асимметрия	(не определено)
Избыточный эксцесс	(не определено)
МГФ	(не определено)
CF	$e^{-\gamma |t|-\sigma ^{2}t^{2}/2}$

Профиль Фойгта (названный в честь Вольдемара Фойгта ) представляет собой распределение вероятностей, заданное сверткой распределения Коши -Лоренца и распределения Гаусса . Его часто используют при анализе данных спектроскопии или дифракции .

Определение

Без ограничения общности можно рассматривать только центрированные профили с нулевым максимумом. Тогда профиль Фойгта

$V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',$

где x – смещение от центра линии, $G(x;\sigma )$ представляет собой центрированный гауссовский профиль:

$G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},$

и $L(x;\gamma )$ представляет собой центрированный лоренцев профиль:

$L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.$

Определяющий интеграл можно оценить как:

$V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},$

где Re[ w ( z )] — действительная часть функции Фаддеевой, рассчитанная для

$z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.$

В предельных случаях $\sigma =0$ и $\gamma =0$ затем $V(x;\sigma ,\gamma )$ упрощается до $L(x;\gamma )$ и $G(x;\sigma )$, соответственно.

История и приложения

В спектроскопии профиль Фойгта получается в результате свертки двух механизмов уширения, один из которых сам по себе создает гауссов профиль (обычно в результате доплеровского уширения ), а другой - лоренцев. Профили Фойгта распространены во многих разделах спектроскопии и дифракции . Из-за затрат на вычисление функции Фаддеевой профиль Фойгта иногда аппроксимируют с помощью профиля псевдо-Фойгта.

Характеристики

Профиль Фойгта нормализуется:

$\int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,$

поскольку это свертка нормализованных профилей. Лоренцев профиль не имеет моментов (кроме нулевого), поэтому производящая функция для распределения Коши не определена. Отсюда следует, что профиль Фойгта также не будет иметь производящей момент функции, но характеристическая функция для распределения Коши четко определена, как и характеристическая функция для нормального распределения . Тогда характеристическая функция для (центрированного) профиля Фойгта будет произведением двух:

$\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.$

Поскольку нормальное распределение и распределение Коши являются стабильными распределениями , каждое из них замкнуто при свертке (с точностью до изменения масштаба), а из этого следует, что распределения Фойгта также замкнуты при свертке.

Кумулятивная функция распределения

Используя приведенное выше определение z , кумулятивную функцию распределения (CDF) можно найти следующим образом:

$F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).$

Подстановка определения функции Фаддеевой (масштабированная комплексная функция ошибок ) дает неопределенный интеграл:

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,$

которое можно решить, чтобы получить

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),$

где ${}_{2}F_{2}$ является гипергеометрической функцией . Чтобы функция приближалась к нулю по мере того, как x приближается к отрицательной бесконечности (как это должно делать CDF), необходимо добавить константу интегрирования 1/2. Это дает для CDF Фойгта:

$F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].$

Нецентрированный профиль Фойгта

Если профиль Гаусса центрирован в $\mu _{G}$ а лоренцев профиль центрирован в $\mu _{L}$, свертка сосредоточена в $\mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}$ а характеристическая функция:

$\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.$

Функция плотности вероятности просто смещается от центрированного профиля на $\mu _{V}$:

$V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},$

где:

$z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}$

Мода и медиана расположены в $\mu _{V}$.

Производные

Профиль Фойгта (здесь, при условии, что $\mu _{V}=10$, $\sigma =1.3$, и $\gamma =2.5$) и его первые две частные производные по $x$ (первый столбец) и три параметра $\mu _{V}$, $\sigma$, и $\gamma$ (второй, третий и четвертый столбцы соответственно), полученные аналитически и численно.

Используя приведенное выше определение для $z$ и $x_{c}=x-\mu _{V}$, первая и вторая производные могут быть выражены через функцию Фаддеевой как

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}$

соответственно.

Часто один или несколько профилей Фойгта и/или их соответствующие производные необходимо согласовать с измеряемым сигналом посредством нелинейного метода наименьших квадратов , например, в спектроскопии . Затем для ускорения вычислений можно использовать дополнительные частные производные. Вместо аппроксимации матрицы Якобиана по параметрам $\mu _{V}$, $\sigma$, и $\gamma$ с помощью конечных разностей можно применить соответствующие аналитические выражения. С $\operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}$ и $\operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}$, они определяются:

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}$

для оригинального профиля Voigt $V$;

${\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}$

для частной производной первого порядка $V'={\frac {\partial V}{\partial x}}$; и

${\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}$

для частной производной второго порядка $V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}$. С $\mu _{V}$ и $\gamma$ играют относительно аналогичную роль в расчете $z$, их соответствующие частные производные также выглядят очень похожими с точки зрения их структуры, хотя они приводят к совершенно разным профилям производных. Действительно, частные производные по $\sigma$ и $\gamma$ показать больше сходства, поскольку оба являются параметрами ширины. Все эти производные включают в себя только простые операции (умножение и сложение), поскольку вычислительно затратно. $\Re _{w}$ и $\Im _{w}$ легко получить при вычислении $w\left(z\right)$. Такое повторное использование предыдущих расчетов позволяет получить вывод с минимальными затратами. Это не относится к аппроксимации градиента конечной разности , поскольку оно требует оценки $w\left(z\right)$ для каждого градиента соответственно.

Функции Фойгта

Функции Фойгта U , V и H (иногда называемые функцией уширения линии ) определяются формулами

$U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),$

$H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},$

где

$z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},$

erfc — дополнительная функция ошибок , а w ( z ) — функция Фаддеевой .

Связь с профилем Фойгта

$V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},$

с относительными переменными гауссовой сигмы $u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}$и $a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.$

Числовые аппроксимации

Функция Теппера-Гарсиа

Функция Теппера-Гарсии , названная в честь немецко-мексиканского астрофизика Тора Теппера-Гарсии , представляет собой комбинацию экспоненциальной функции и рациональных функций, которая аппроксимирует функцию уширения линии. $H(a,u)$ в широком диапазоне его параметров. Он получается путем разложения в усеченный степенной ряд точной функции уширения линии.

В наиболее эффективной в вычислительном отношении форме функция Теппера-Гарсиа может быть выражена как

$T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,$

где $P\equiv u^{2}$, $Q\equiv 3/(2P)$, и $R\equiv e^{-P}$.

Таким образом, функцию уширения линии можно рассматривать в первом порядке как чистую функцию Гаусса плюс поправочный коэффициент, который линейно зависит от микроскопических свойств поглощающей среды (закодирован в виде $a$); однако из-за раннего усечения разложения в ряд ошибка аппроксимации все еще имеет порядок $a$, то есть $H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)$. Это приближение имеет относительную точность

$\epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}$

во всем диапазоне длин волн $H(a,u)$, при условии, что $a\lesssim 10^{-4}$.Помимо высокой точности, функция $T(a,u)$ легко реализовать, а также быстро вычислительно. Он широко используется в области анализа линий поглощения квазаров.

Псевдо-фойгтовское приближение

Профиль псевдо-Фойгта (или функция псевдо-Фойгта ) — это аппроксимация профиля Фойгта V ( x ) с использованием линейной комбинации гауссовой кривой G ( x ) и лоренцевой кривой L ( x ) вместо их свертки .

Функция псевдо-Фойгта часто используется для расчета экспериментальных форм спектральных линий .

Математическое определение нормализованного профиля псевдо-Фойгта дается формулой

$V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)$ с $0<\eta <1$.

$\eta$ является функцией параметра полной ширины на половине максимума (FWHM).

Существует несколько возможных вариантов выбора $\eta$ параметр. Простая формула с точностью до 1%:

$\eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},$

где сейчас, $\eta$ является функцией Лоренца ( $f_{L}$), Гауссовский ( $f_{G}$) и всего ( $f$) Параметры полной ширины на половине максимума (FWHM). Полная ширина на полувысоте ( $f$) параметр описывается:

$f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.$

Ширина профиля Фойгта

Полную ширину на половине высоты (FWHM) профиля Фойгта можно найти поширины соответствующих гауссовых и лоренцевых ширин. Полувысота гауссовского профиля является

$f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.$

Полуширина лоренцева профиля равна

$f_{\mathrm {L} }=2\gamma .$

Примерное соотношение (с точностью до 1,2%) между шириной профилей Фойгта, Гаусса и Лоренца:

$f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.$

По построению это выражение является точным для чистого гауссиана или лоренциана.

Лучшее приближение с точностью 0,02% дает выражение (первоначально найден Килкопфом )

$f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.$

Опять же, это выражение точно для чистого гауссова или лоренциана.В той же публикации можно найти несколько более точное (в пределах 0,012%), но существенно более сложное выражение.

Внешние ссылки

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию voigt(x, sigma, gamma) с точностью примерно 13–14 цифр.
• Оригинальная статья: Фойгт, Вольдемар, 1912, «Закон распределения интенсивности внутри линий газового спектра», отчет заседания Баварской академии наук, 25, 603 (см. также: http://publikationen. badw.de/de/003395768)