Jump to content

Функция Фаддеевой

Функция Фаддеевой на комплексной плоскости

Функция Фаддеева или функция Крампа представляет собой масштабированную комплексную дополнительную функцию ошибок ,

Это связано с интегралом Френеля , с интегралом Доусона и с функцией Фойгта .

Эта функция возникает в различных физических задачах, обычно связанных с электромагнитными реакциями в сложных средах.

  • проблемы, связанные с волнами малой амплитуды, распространяющимися через максвелловскую плазму плазмы , и, в частности, возникают в диэлектрической проницаемости , из которой выводятся дисперсионные соотношения , поэтому ее иногда называют дисперсионной функцией плазмы . [1] [2] (хотя это имя иногда используется вместо масштабированной функции Z ( z ) = i π w ( z ), определенной Фридом и Конте , 1961 г. [1] [3] ).
  • Функции инфракрасной диэлектрической проницаемости аморфных оксидов имеют резонансы (из-за фононов ), которые иногда слишком сложны, чтобы их можно было подогнать с помощью простых гармонических генераторов. Модель осциллятора Бренделя-Бормана использует бесконечную суперпозицию осцилляторов, имеющих немного разные частоты, с гауссовым распределением. [4] Интегральный ответ можно записать в виде функции Фаддеевой.
  • Функция Фаддеевой также используется при анализе электромагнитных волн того типа, который используется в AM-радио. [ нужна ссылка ] Земные волны — это волны с вертикальной поляризацией, распространяющиеся по грунту с потерями и конечным удельным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью.
  • Функция Фаддеевой также описывает изменение нейтронных сечений материалов при изменении температуры. [5]

Характеристики

[ редактировать ]

Действительные и мнимые части

[ редактировать ]

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают

,

где V и L называются вещественной и мнимой функциями Фойгта , поскольку V(x,y) профиль Фойгта (с точностью до префакторов).

Инверсия знака

[ редактировать ]

Для аргументов с инвертированным знаком применяются оба следующих условия:

и

где * обозначает комплексно-сопряженное.

Связь с дополнительной функцией ошибок

[ редактировать ]

Функция Фаддеевой, вычисляемая по мнимым аргументам, равна масштабированной дополнительной функции ошибок ( ):

,

где erfc — дополнительная функция ошибок . Для больших действительных x :

Производная

[ редактировать ]

В некоторых приложениях необходимо знать не только исходные значения функции Фаддеевой, но и ее производную (например, в нелинейной регрессии наименьших квадратов в спектроскопии ). Его производная определяется как: [6] [7]

Это выражение также можно разбить дальше с точки зрения изменения действительной и мнимой части функции Фаддеевой и . По сути, для этого необходимы знания о реальной и мнимой части продукта. . Используя приведенное выше определение следовательно, производную можно разбить на частные производные по и следующее:

      и       
      и       

Практический пример использования этих частных производных можно найти здесь .

Интегральное представление

[ редактировать ]

Функция Фаддеевой имеет вид

это означает, что это свертка гауссиана с простым полюсом.

Функция была табулирована Верой Фаддеевой и Н. Н. Терентьевым в 1954 году. [8] Она появляется как безымянная функция w(z) у Абрамовица и Стегуна (1964), формула 7.1.3. Функция имени Фаддеевой, очевидно, была введена GPM Poppe и CMJ Wijers в 1990 году; [9] [ нужен лучший источник ] ранее она была известна как функция Крампа (вероятно, в честь Кристиана Крампа ). [10]

В ранних реализациях использовались методы Уолтера Гаучи (1969–70; алгоритм ACM 363). [11] или Дж. Гумличека (1982). [12] Более эффективный алгоритм был предложен Поппе и Вайерсом (1990; алгоритм ACM 680). [13] JAC Weideman (1994) предложил особенно короткий алгоритм, занимающий не более восьми строк кода MATLAB . [14] Заглул и Али указали на недостатки предыдущих алгоритмов и предложили новый (2011; алгоритм ACM 916). [2] Другой алгоритм был предложен М. Абраровым и Б. М. Куайном (2011/2012). [15]

Реализации

[ редактировать ]

Две реализации программного обеспечения, которые бесплатны только для некоммерческого использования. [16] были опубликованы в журнале ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) как алгоритм 680 (на языке Fortran , [17] позже переведено на C ) [18] и алгоритм 916 Заглула и Али (в MATLAB ). [19]

Бесплатная реализация C или C++ с открытым исходным кодом, полученная на основе комбинации алгоритма 680 и алгоритма 916 (с использованием разных алгоритмов для разных z ), также доступна по лицензии MIT . [20] и поддерживается как библиотечный пакет libcerf . [21] Эта реализация также доступна в виде плагина для Matlab. [20] ГНУ Октава , [20] и в Python через Scipy как scipy.special.wofz (первоначально это был код TOMS 680, но был заменен из-за проблем с авторскими правами). [22] ).

Для быстрого, но при этом точного расчета функции дисперсии плазмы. , приближение Паде J-поля оказывается полезным, [23] то есть,

Для J=8 можно использоватьb1= -0,017340112270401 - 0,046306439626294i;b2= -0,739917811220052 + 0,839518284620274i;b3= 5,840632105105495 ​​+ 0,953602751322040i;b4= -5,583374181615043 -11,208550459628098i;с1= 2,237687725134293 - 1,625941024120362i;с2= 1,465234091939142 - 1,789620299603315i;с3= 0,839253966367922 - 1,891995211531426i;с4= 0,273936218055381 - 1,941787037576095i;б(5:8)=(б(1:4))*;с(5:8)=-(с(1:4))*,

где * обозначает комплексно-сопряженное. Приведенное выше приближение справедливо для верхней плоскости. Для слабо близко к действительной оси, т.е. недалеко от действительной оси нижней плоскости, указанное приближение также справедливо. Для точного расчета , можно использовать

Можно найти кодировку описанного выше подхода J-полюса и сравнение с точной функцией дисперсии плазмы. [24] Также доступны комплексные коэффициенты для быстрого расчета дисперсионной функции плазмы с рациональным и многополюсным приближением. [25]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Перейти обратно: а б Лехтинен, Николай Г. (23 апреля 2010 г.). «Функции ошибок» (PDF) . Веб-страница Лехтинена — Стэнфордский университет . Проверено 8 октября 2019 г.
  2. ^ Перейти обратно: а б Г-н Заглул и А. Н. Али, Транзакции ACM в математическом программном обеспечении 38 (2) 15 (2011)
  3. ^ Ричард Фицпатрик , Функция дисперсии плазмы , конспекты лекций по физике плазмы , Техасский университет в Остине (31 марта 2011 г.).
  4. ^ Брендель, Р.; Борман, Д. (1992). «Модель инфракрасной диэлектрической функции аморфных твердых тел». Журнал прикладной физики . 71 (1): 1. Бибкод : 1992JAP....71....1B . дои : 10.1063/1.350737 . ISSN   0021-8979 .
  5. ^ «Оконный мультиполь OpenMC» . 01.06.2020 . Проверено 20 декабря 2020 г.
  6. ^ Аветисов, Слава (1995). Метод наименьших квадратов для спектрального анализа форм линий прямой и частотной модуляции (PDF) (Отчет). Факультет физики Лундского университета.
  7. ^ «Функция Фаддеевой (или Фаддеевой) – 7.10 Производные» . Электронная библиотека математических функций . Национальный институт стандартов и технологий. 2010 . Проверено 23 июня 2022 г.
  8. ^ В. Н. Фаддеева и Н. Н. Терентьев: Таблицы значений функции. для сложного аргумента. Госуд. Издат. Тех.-Теор. Лит. , Москва, 1954; Английский перевод, Pergamon Press, Нью-Йорк, 1961. Непроверенная цитата, скопировано из Poppe and Wijers (1990).
  9. ^ Самый ранний результат поиска в Google Scholar по состоянию на октябрь 2012 г.
  10. ^ Например, у Альперта, Space Science Reviews 6, 781 (1967), формула (3.13), со ссылкой на Фаддееву и Терентьева.
  11. ^ См. ссылки 3 и 4 в Poppe and Wijers (1990).
  12. ^ Дж. Хумличек, Дж. Квант. Спектроск. Радиат. Передача 27, 437–444 (1982).
  13. ^ GPM Поппе и CMJ Wijers, Транзакции ACM по математическому программному обеспечению 16, 38-46 (1990).
  14. ^ JAC Weideman, SIAM J. Issue. Анальный. 31, 1497–1518 (1994).
  15. ^ С.М. Абраров и Б.М. Куайн, Прикл. Математика. Комп. 218, 1894–1902 (2011) и arXiv:1205.1768v1 (2012).
  16. ^ «Уведомление об авторских правах на программное обеспечение» . ; следовательно, они не являются бесплатными в смысле бесплатного программного обеспечения с открытым исходным кодом.
  17. ^ http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz [ мертвая ссылка ]
  18. ^ «Формулы столкновений» . НАСА . Проверено 10 апреля 2023 г.
  19. ^ Мофре Р. Заглул и Ахмед Н. Али, « Алгоритм 916: вычисление функций Фаддеевой и Фойгта », ACM Trans. Математика. Мягкий. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен по адресу arXiv:1106.0151 .
  20. ^ Перейти обратно: а б с Пакет Фаддеева , бесплатная реализация C++ с открытым исходным кодом, по состоянию на 13 октября 2012 г.
  21. ^ «Libcerf [Группа научных вычислений MLZ]» .
  22. ^ «Сложный код erf SciPy не является бесплатным/с открытым исходным кодом? (Trac № 1741) · Проблема № 2260 · scipy/scipy» . Гитхаб .
  23. ^ Се, Хуа-шэн (ноябрь 2019 г.). «БО: Единый инструмент для анализа плазменных волн и неустойчивостей» . Компьютерная физика. Коммуникации . 244 : 343–371. arXiv : 1901.06902 . дои : 10.1016/j.cpc.2019.06.014 . ISSN   0010-4655 .
  24. ^ Се, Хуа-шэн (14 апреля 2024 г.), hsxie/gpdf , получено 15 апреля 2024 г.
  25. ^ Се, Хуашэн (01 июля 2024 г.). «Быстрое вычисление дисперсионной функции плазмы: рациональное и многополюсное приближение и повышенная точность» . Достижения АИП . 14 (7). arXiv : 2404.18719 . дои : 10.1063/5.0216433 . ISSN   2158-3226 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 14b624b485f473c573547e7c9e3a6b8e__1721365320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/14/8e/14b624b485f473c573547e7c9e3a6b8e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Faddeeva function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)