Функция Фаддеевой

Функция Фаддеевой на комплексной плоскости

Функция Фаддеева или функция Крампа представляет собой масштабированную комплексную дополнительную функцию ошибок ,

$w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).$

Это связано с интегралом Френеля , с интегралом Доусона и с функцией Фойгта .

Эта функция возникает в различных физических задачах, обычно связанных с электромагнитными реакциями в сложных средах.

• проблемы, связанные с волнами малой амплитуды, распространяющимися через максвелловскую плазму плазмы , и, в частности, возникают в диэлектрической проницаемости , из которой выводятся дисперсионные соотношения , поэтому ее иногда называют дисперсионной функцией плазмы . (хотя это имя иногда используется вместо масштабированной функции Z ( z ) = i √ π w ( z ), определенной Фридом и Конте , 1961 г. ).
• Функции инфракрасной диэлектрической проницаемости аморфных оксидов имеют резонансы (из-за фононов ), которые иногда слишком сложны, чтобы их можно было подогнать с помощью простых гармонических генераторов. Модель осциллятора Бренделя-Бормана использует бесконечную суперпозицию осцилляторов, имеющих немного разные частоты, с гауссовым распределением. Интегральный ответ можно записать в виде функции Фаддеевой.
• Функция Фаддеевой также используется при анализе электромагнитных волн того типа, который используется в AM-радио. Земные волны — это волны с вертикальной поляризацией, распространяющиеся по грунту с потерями и конечным удельным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью.
• Функция Фаддеевой также описывает изменение нейтронных сечений материалов при изменении температуры.

Характеристики

Действительные и мнимые части

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают

$w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)$,

где V и L называются вещественной и мнимой функциями Фойгта , поскольку V(x,y) — профиль Фойгта (с точностью до префакторов).

Инверсия знака

Для аргументов с инвертированным знаком применяются оба следующих условия:

$w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)$

и

$w(-z)=w\left(z^{*}\right)^{*}$

где * обозначает комплексно-сопряженное.

Связь с дополнительной функцией ошибок

Функция Фаддеевой, вычисляемая по мнимым аргументам, равна масштабированной дополнительной функции ошибок ( $\mathrm {erfcx}$):

$w(iz)=\mathrm {erfcx} (z)=e^{z^{2}}\mathrm {erfc} (z)$,

где erfc — дополнительная функция ошибок . Для больших действительных x :

$\mathrm {erfcx} (x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}x}}$

Производная

В некоторых приложениях необходимо знать не только исходные значения функции Фаддеевой, но и ее производную (например, в нелинейной регрессии наименьших квадратов в спектроскопии ). Его производная определяется как:

${\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)$

Это выражение также можно разбить дальше с точки зрения изменения действительной и мнимой части функции Фаддеевой $\Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}$ и $\Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}$. По сути, для этого необходимы знания о реальной и мнимой части продукта. $z\cdot w\left(z\right)$. Используя приведенное выше определение $z=x+iy$следовательно, производную можно разбить на частные производные по $x$ и $y$ следующее:

${\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}$      и       ${\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}$

${\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}$      и       ${\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}$

Практический пример использования этих частных производных можно найти здесь .

Интегральное представление

Функция Фаддеевой имеет вид

$w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Im} z>0$

это означает, что это свертка гауссиана с простым полюсом.

История

Функция была табулирована Верой Фаддеевой и Н. Н. Терентьевым в 1954 году. Она появляется как безымянная функция w(z) у Абрамовица и Стегуна (1964), формула 7.1.3. Функция имени Фаддеевой, очевидно, была введена GPM Poppe и CMJ Wijers в 1990 году; ранее она была известна как функция Крампа (вероятно, в честь Кристиана Крампа ).

В ранних реализациях использовались методы Уолтера Гаучи (1969–70; алгоритм ACM 363). или Дж. Гумличека (1982). Более эффективный алгоритм был предложен Поппе и Вайерсом (1990; алгоритм ACM 680). JAC Weideman (1994) предложил особенно короткий алгоритм, занимающий не более восьми строк кода MATLAB . Заглул и Али указали на недостатки предыдущих алгоритмов и предложили новый (2011; алгоритм ACM 916). Другой алгоритм был предложен М. Абраровым и Б. М. Куайном (2011/2012).

Реализации

Две реализации программного обеспечения, которые бесплатны только для некоммерческого использования. были опубликованы в журнале ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) как алгоритм 680 (на языке Fortran , позже переведено на C ) и алгоритм 916 Заглула и Али (в MATLAB ).

Бесплатная реализация C или C++ с открытым исходным кодом, полученная на основе комбинации алгоритма 680 и алгоритма 916 (с использованием разных алгоритмов для разных z ), также доступна по лицензии MIT . и поддерживается как библиотечный пакет libcerf . Эта реализация также доступна в виде плагина для Matlab. ГНУ Октава , и в Python через Scipy как scipy.special.wofz (первоначально это был код TOMS 680, но был заменен из-за проблем с авторскими правами). ).

Для быстрого, но при этом точного расчета функции дисперсии плазмы. $Z(z)$, приближение Паде J-поля оказывается полезным, то есть,

$Z(z)=\sum _{j=1}^{J}{\frac {b_{j}}{z-c_{j}}}.$

Для J=8 можно использоватьb1= -0,017340112270401 - 0,046306439626294i;b2= -0,739917811220052 + 0,839518284620274i;b3= 5,840632105105495 ​​+ 0,953602751322040i;b4= -5,583374181615043 -11,208550459628098i;с1= 2,237687725134293 - 1,625941024120362i;с2= 1,465234091939142 - 1,789620299603315i;с3= 0,839253966367922 - 1,891995211531426i;с4= 0,273936218055381 - 1,941787037576095i;б(5:8)=(б(1:4))*;с(5:8)=-(с(1:4))*,

где * обозначает комплексно-сопряженное. Приведенное выше приближение справедливо для верхней плоскости. Для $z$ слабо близко к действительной оси, т.е. $Im(z)$ недалеко от действительной оси нижней плоскости, указанное приближение также справедливо. Для точного расчета $Im(z)<0$, можно использовать

$Z(z)=[Z(z^{*})]^{*}+2i{\sqrt {\pi }}\exp[-z^{2}].$

Можно найти кодировку описанного выше подхода J-полюса и сравнение с точной функцией дисперсии плазмы. Также доступны комплексные коэффициенты для быстрого расчета дисперсионной функции плазмы с рациональным и многополюсным приближением.

См. также

• Список математических функций