Функция Фаддеевой

Функция Фаддеева или функция Крампа представляет собой масштабированную комплексную дополнительную функцию ошибок ,
Это связано с интегралом Френеля , с интегралом Доусона и с функцией Фойгта .
Эта функция возникает в различных физических задачах, обычно связанных с электромагнитными реакциями в сложных средах.
- проблемы, связанные с волнами малой амплитуды, распространяющимися через максвелловскую плазму плазмы , и, в частности, возникают в диэлектрической проницаемости , из которой выводятся дисперсионные соотношения , поэтому ее иногда называют дисперсионной функцией плазмы . [1] [2] (хотя это имя иногда используется вместо масштабированной функции Z ( z ) = i √ π w ( z ), определенной Фридом и Конте , 1961 г. [1] [3] ).
- Функции инфракрасной диэлектрической проницаемости аморфных оксидов имеют резонансы (из-за фононов ), которые иногда слишком сложны, чтобы их можно было подогнать с помощью простых гармонических генераторов. Модель осциллятора Бренделя-Бормана использует бесконечную суперпозицию осцилляторов, имеющих немного разные частоты, с гауссовым распределением. [4] Интегральный ответ можно записать в виде функции Фаддеевой.
- Функция Фаддеевой также используется при анализе электромагнитных волн того типа, который используется в AM-радио. [ нужна ссылка ] Земные волны — это волны с вертикальной поляризацией, распространяющиеся по грунту с потерями и конечным удельным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью.
- Функция Фаддеевой также описывает изменение нейтронных сечений материалов при изменении температуры. [5]
Характеристики
[ редактировать ]Действительные и мнимые части
[ редактировать ]Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают
- ,
где V и L называются вещественной и мнимой функциями Фойгта , поскольку V(x,y) — профиль Фойгта (с точностью до префакторов).
Инверсия знака
[ редактировать ]Для аргументов с инвертированным знаком применяются оба следующих условия:
и
где * обозначает комплексно-сопряженное.
Связь с дополнительной функцией ошибок
[ редактировать ]Функция Фаддеевой, вычисляемая по мнимым аргументам, равна масштабированной дополнительной функции ошибок ( ):
- ,
где erfc — дополнительная функция ошибок . Для больших действительных x :
Производная
[ редактировать ]В некоторых приложениях необходимо знать не только исходные значения функции Фаддеевой, но и ее производную (например, в нелинейной регрессии наименьших квадратов в спектроскопии ). Его производная определяется как: [6] [7]
Это выражение также можно разбить дальше с точки зрения изменения действительной и мнимой части функции Фаддеевой и . По сути, для этого необходимы знания о реальной и мнимой части продукта. . Используя приведенное выше определение следовательно, производную можно разбить на частные производные по и следующее:
- и
- и
Практический пример использования этих частных производных можно найти здесь .
Интегральное представление
[ редактировать ]Функция Фаддеевой имеет вид
это означает, что это свертка гауссиана с простым полюсом.
История
[ редактировать ]Функция была табулирована Верой Фаддеевой и Н. Н. Терентьевым в 1954 году. [8] Она появляется как безымянная функция w(z) у Абрамовица и Стегуна (1964), формула 7.1.3. Функция имени Фаддеевой, очевидно, была введена GPM Poppe и CMJ Wijers в 1990 году; [9] [ нужен лучший источник ] ранее она была известна как функция Крампа (вероятно, в честь Кристиана Крампа ). [10]
В ранних реализациях использовались методы Уолтера Гаучи (1969–70; алгоритм ACM 363). [11] или Дж. Гумличека (1982). [12] Более эффективный алгоритм был предложен Поппе и Вайерсом (1990; алгоритм ACM 680). [13] JAC Weideman (1994) предложил особенно короткий алгоритм, занимающий не более восьми строк кода MATLAB . [14] Заглул и Али указали на недостатки предыдущих алгоритмов и предложили новый (2011; алгоритм ACM 916). [2] Другой алгоритм был предложен М. Абраровым и Б. М. Куайном (2011/2012). [15]
Реализации
[ редактировать ]Две реализации программного обеспечения, которые бесплатны только для некоммерческого использования. [16] были опубликованы в журнале ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) как алгоритм 680 (на языке Fortran , [17] позже переведено на C ) [18] и алгоритм 916 Заглула и Али (в MATLAB ). [19]
Бесплатная реализация C или C++ с открытым исходным кодом, полученная на основе комбинации алгоритма 680 и алгоритма 916 (с использованием разных алгоритмов для разных z ), также доступна по лицензии MIT . [20] и поддерживается как библиотечный пакет libcerf . [21] Эта реализация также доступна в виде плагина для Matlab. [20] ГНУ Октава , [20] и в Python через Scipy как scipy.special.wofz
(первоначально это был код TOMS 680, но был заменен из-за проблем с авторскими правами). [22] ).
Для быстрого, но при этом точного расчета функции дисперсии плазмы. , приближение Паде J-поля оказывается полезным, [23] то есть,
Для J=8 можно использоватьb1= -0,017340112270401 - 0,046306439626294i;b2= -0,739917811220052 + 0,839518284620274i;b3= 5,840632105105495 + 0,953602751322040i;b4= -5,583374181615043 -11,208550459628098i;с1= 2,237687725134293 - 1,625941024120362i;с2= 1,465234091939142 - 1,789620299603315i;с3= 0,839253966367922 - 1,891995211531426i;с4= 0,273936218055381 - 1,941787037576095i;б(5:8)=(б(1:4))*;с(5:8)=-(с(1:4))*,
где * обозначает комплексно-сопряженное. Приведенное выше приближение справедливо для верхней плоскости. Для слабо близко к действительной оси, т.е. недалеко от действительной оси нижней плоскости, указанное приближение также справедливо. Для точного расчета , можно использовать
Можно найти кодировку описанного выше подхода J-полюса и сравнение с точной функцией дисперсии плазмы. [24] Также доступны комплексные коэффициенты для быстрого расчета дисперсионной функции плазмы с рациональным и многополюсным приближением. [25]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Лехтинен, Николай Г. (23 апреля 2010 г.). «Функции ошибок» (PDF) . Веб-страница Лехтинена — Стэнфордский университет . Проверено 8 октября 2019 г.
- ^ Перейти обратно: а б Г-н Заглул и А. Н. Али, Транзакции ACM в математическом программном обеспечении 38 (2) 15 (2011)
- ^ Ричард Фицпатрик , Функция дисперсии плазмы , конспекты лекций по физике плазмы , Техасский университет в Остине (31 марта 2011 г.).
- ^ Брендель, Р.; Борман, Д. (1992). «Модель инфракрасной диэлектрической функции аморфных твердых тел». Журнал прикладной физики . 71 (1): 1. Бибкод : 1992JAP....71....1B . дои : 10.1063/1.350737 . ISSN 0021-8979 .
- ^ «Оконный мультиполь OpenMC» . 01.06.2020 . Проверено 20 декабря 2020 г.
- ^ Аветисов, Слава (1995). Метод наименьших квадратов для спектрального анализа форм линий прямой и частотной модуляции (PDF) (Отчет). Факультет физики Лундского университета.
- ^ «Функция Фаддеевой (или Фаддеевой) – 7.10 Производные» . Электронная библиотека математических функций . Национальный институт стандартов и технологий. 2010 . Проверено 23 июня 2022 г.
- ^ В. Н. Фаддеева и Н. Н. Терентьев: Таблицы значений функции. для сложного аргумента. Госуд. Издат. Тех.-Теор. Лит. , Москва, 1954; Английский перевод, Pergamon Press, Нью-Йорк, 1961. Непроверенная цитата, скопировано из Poppe and Wijers (1990).
- ^ Самый ранний результат поиска в Google Scholar по состоянию на октябрь 2012 г.
- ^ Например, у Альперта, Space Science Reviews 6, 781 (1967), формула (3.13), со ссылкой на Фаддееву и Терентьева.
- ^ См. ссылки 3 и 4 в Poppe and Wijers (1990).
- ^ Дж. Хумличек, Дж. Квант. Спектроск. Радиат. Передача 27, 437–444 (1982).
- ^ GPM Поппе и CMJ Wijers, Транзакции ACM по математическому программному обеспечению 16, 38-46 (1990).
- ^ JAC Weideman, SIAM J. Issue. Анальный. 31, 1497–1518 (1994).
- ^ С.М. Абраров и Б.М. Куайн, Прикл. Математика. Комп. 218, 1894–1902 (2011) и arXiv:1205.1768v1 (2012).
- ^ «Уведомление об авторских правах на программное обеспечение» . ; следовательно, они не являются бесплатными в смысле бесплатного программного обеспечения с открытым исходным кодом.
- ^ http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz [ мертвая ссылка ]
- ^ «Формулы столкновений» . НАСА . Проверено 10 апреля 2023 г.
- ^ Мофре Р. Заглул и Ахмед Н. Али, « Алгоритм 916: вычисление функций Фаддеевой и Фойгта », ACM Trans. Математика. Мягкий. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен по адресу arXiv:1106.0151 .
- ^ Перейти обратно: а б с Пакет Фаддеева , бесплатная реализация C++ с открытым исходным кодом, по состоянию на 13 октября 2012 г.
- ^ «Libcerf [Группа научных вычислений MLZ]» .
- ^ «Сложный код erf SciPy не является бесплатным/с открытым исходным кодом? (Trac № 1741) · Проблема № 2260 · scipy/scipy» . Гитхаб .
- ^ Се, Хуа-шэн (ноябрь 2019 г.). «БО: Единый инструмент для анализа плазменных волн и неустойчивостей» . Компьютерная физика. Коммуникации . 244 : 343–371. arXiv : 1901.06902 . дои : 10.1016/j.cpc.2019.06.014 . ISSN 0010-4655 .
- ^ Се, Хуа-шэн (14 апреля 2024 г.), hsxie/gpdf , получено 15 апреля 2024 г.
- ^ Се, Хуашэн (01 июля 2024 г.). «Быстрое вычисление дисперсионной функции плазмы: рациональное и многополюсное приближение и повышенная точность» . Достижения АИП . 14 (7). arXiv : 2404.18719 . дои : 10.1063/5.0216433 . ISSN 2158-3226 .