Форма спектральной линии

Форма спектральной линии или профиль спектральной линии описывает форму электромагнитного спектра вблизи спектральной линии – области более сильной или более слабой интенсивности в спектре. Идеальные формы линий включают функции Лоренца , Гаусса и Фойгта , параметрами которых являются положение линии, максимальная высота и полуширина. ^[1] Фактические формы линий определяются главным образом допплеровским сдвигом , столкновением и расширением близости . Для каждой системы полуширина функции формы зависит от температуры, давления (или концентрации ) и фазы. Знание функции формы необходимо для аппроксимации спектроскопической кривой и деконволюции .

Происхождение

Спектральная линия соответствует электронному переходу в атоме, молекуле или ионе, который связан с определенным количеством энергии E . Когда эта энергия измеряется каким-либо спектроскопическим методом, линия не является бесконечно острой, а имеет определенную форму. Многочисленные факторы могут способствовать уширению спектральных линий . Уширение можно смягчить только использованием специализированных методов, таких как спектроскопия падения Лэмба . Основными источниками расширения являются:

Расширение срока службы . Согласно принципу неопределенности неопределенность в энергии Δ E и времени жизни Δ t возбужденного состояния связаны соотношением

\Delta E\Delta t\gtrapprox \hbar

Это определяет минимально возможную ширину линии. Поскольку возбужденное состояние затухает экспоненциально во времени, этот эффект создает линию лоренцевой формы с точки зрения частоты (или волнового числа).

Доплеровское уширение . Это вызвано тем, что скорость атомов или молекул относительно наблюдателя подчиняется распределению Максвелла , поэтому эффект зависит от температуры. Если бы это был единственный эффект, форма линии была бы гауссовой. ^[1]
Расширение давления (Уширение столкновений). Столкновения между атомами или молекулами сокращают время жизни верхнего состояния Δt , увеличивая неопределенность ΔE . Этот эффект зависит как от плотности (то есть давления газа), так и от температуры, которая влияет на скорость столкновений. Эффект уширения в большинстве случаев описывается лоренцевым профилем. ^[2]
Расширение близости . Присутствие других молекул, близких к рассматриваемой молекуле, влияет как на ширину линии, так и на ее положение. Это доминирующий процесс для жидкостей и твердых тел. Крайним примером такого эффекта является влияние водородной связи на спектры протонных жидкостей.

На форму и ширину наблюдаемой спектральной линии также влияют инструментальные факторы. Наблюдаемая форма линии представляет собой свертку собственной формы линии с передаточной функцией прибора . ^[3]

Каждый из этих механизмов, как и другие , может действовать изолированно или в сочетании. Если каждый эффект независим от другого, наблюдаемый профиль линии представляет собой свертку профилей линий каждого механизма. Таким образом, комбинация эффектов Доплера и расширения давления дает профиль Фойгта.

Функции формы линии

в лоренциане

Функцию формы лоренцевой линии можно представить как

L={\frac {1}{1+x^{2}}},

где L означает функцию Лоренца, стандартизированную для спектроскопических целей до максимального значения 1; ^{[примечание 1]} $x$ является вспомогательной переменной, определяемой как

x={\frac {p-p_{0}}{w/2}},

где $p_{0}$ — положение максимума (соответствует энергии перехода E ), p — положение, а w — полная ширина на половине максимума (FWHM), ширина кривой, когда интенсивность равна половине максимальной интенсивности (это происходит при точки $p=p_{0}\pm {\frac {w}{2}}$ ). Единица $p_{0}$ , $p$ и $w$ обычно это волновое число или частота . Переменная x безразмерна точке и равна нулю в $p=p_{0}$ .

Гауссовский

Форма линии Гаусса имеет стандартизированный вид:

G=e^{-(\ln 2)x^{2}}.

Вспомогательная переменная x определяется так же, как и для лоренцевой формы. И эта функция, и лоренциан имеют максимальное значение 1 при x = 0 и значение 1/2 при x =±1.

Фойгт

Третья форма линии, имеющая теоретическую основу, — это функция Фойгта , свертка гауссиана и лоренциана,

V(x;\sigma ,\gamma )=\int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',

где σ и γ — полуширины. Вычисление функции Фойгта и ее производных более сложное, чем вычисление функции Гаусса или Лоренца. ^[4]

Спектральная подгонка

Спектроскопический пик может соответствовать кратным вышеуказанным функциям или суммам или произведениям функций с переменными параметрами. ^[5] Все вышеперечисленные функции симметричны относительно положения своего максимума. ^{[примечание 2]} Также использовались асимметричные функции. ^[6]^{[примечание 3]}

Экземпляры

Атомные спектры

Для атомов в газовой фазе основными эффектами являются доплеровский эффект и расширение давления. Линии относительно четкие в масштабе измерения, поэтому такие приложения, как атомно-абсорбционная спектроскопия (ААС) и атомно-эмиссионная спектроскопия с индуктивно связанной плазмой используются для элементного анализа (ICP) . Атомы также имеют отчетливые рентгеновские спектры, которые объясняются возбуждением электронов внутренней оболочки в возбужденные состояния. Линии относительно резкие, поскольку внутренняя энергия электронов не очень чувствительна к окружению атома. Это применимо к рентгенофлуоресцентной спектроскопии твердых материалов.

Молекулярные спектры

Для молекул в газовой фазе основными эффектами являются доплеровский эффект и расширение давления. Это относится к вращательной спектроскопии . ^[7] вращательно-колебательная спектроскопия и вибронная спектроскопия .

Для молекул в жидком состоянии или растворе преобладают столкновения и уширение вблизи, а линии значительно шире, чем линии той же молекулы в газовой фазе. ^[8]^[9] Максимумы линий также могут быть смещены. Поскольку существует множество источников уширения, линии имеют устойчивое распределение , стремящееся к гауссовой форме.

Ядерный магнитный резонанс

Форма линий в спектре ядерного магнитного резонанса (ЯМР) определяется процессом затухания свободной индукции . Это затухание приблизительно экспоненциальное , поэтому форма линии лоренцева. ^[10] Это следует из того, что преобразование Фурье экспоненциальной функции во временной области является лоренцианом в частотной области. В ЯМР-спектроскопии время жизни возбужденных состояний относительно велико, поэтому линии очень резкие, что дает спектры высокого разрешения.

Магнитно-резонансная томография

Фармацевтические препараты на основе гадолиния изменяют время релаксации и, следовательно, форму спектральных линий тех протонов, которые находятся в молекулах воды, временно присоединенных к парамагнитным атомам, что приводит к усилению контрастности изображения МРТ. ^[11] Это позволяет лучше визуализировать некоторые опухоли головного мозга. ^[11]

Приложения

Кривая разложения

Некоторые спектроскопические кривые можно аппроксимировать суммой набора составляющих кривых. Например, когда закон Бера

I_{\lambda }=\sum _{k}\epsilon _{k,\lambda }c_{k}

При применении измеренная интенсивность I волны λ представляет собой линейную комбинацию интенсивности отдельных компонентов k при концентрации c на длине _k . ε — коэффициент экстинкции . В таких случаях кривая экспериментальных данных может быть разложена на сумму составляющих кривых в процессе аппроксимации кривой . Этот процесс также широко называют деконволюцией. Деконволюция кривой и аппроксимация кривой — это совершенно разные математические процедуры. ^[6]^[12]

Подгонку кривой можно использовать двумя разными способами.

Формы и параметры линий $p_{0}$ и $w$ кривые отдельных компонентов были получены экспериментально. В этом случае кривая может быть разложена с использованием линейного метода наименьших квадратов просто для определения концентраций компонентов. Этот процесс используется в аналитической химии для определения состава смеси компонентов с известными спектрами молярного поглощения . Например, если высоты двух линий равны h ₁ и h ₂ , c ₁ = h ₁ / ε ₁ и c ₂ = h ₂ / ε ₂ . ^[13]
Параметры формы линии неизвестны. Интенсивность каждого компонента является функцией как минимум трех параметров: положения, высоты и полуширины. Кроме того, одна или обе функции формы линии и функции базовой линии могут быть неизвестны с уверенностью. метод нелинейных наименьших квадратов . Когда два или более параметров аппроксимационной кривой неизвестны, необходимо использовать ^[14]^[15] Надежность аппроксимации кривой в этом случае зависит от разделения между компонентами, их функций формы и относительных высот, а также отношения сигнал/шум в данных. ^[6]^[16] Когда для разложения набора N _{зольных} спектров на N _pks кривые используются кривые Гаусса, $p_{0}$ и $w$ параметры являются общими для всех спектров N _золей . Это позволяет рассчитать высоты каждой кривой Гаусса в каждом спектре ( параметры N _sol · N _pks ) с помощью (быстрой) линейной процедуры аппроксимации методом наименьших квадратов, в то время как $p_{0}$ и параметры w (2 · N _{параметров pks} ) могут быть получены с помощью нелинейной аппроксимации методом наименьших квадратов данных всех спектров одновременно, что резко снижает корреляцию между оптимизированными параметрами. ^[17]

Производная спектроскопия

Спектроскопические кривые могут быть подвергнуты численному дифференцированию . ^[18]

Когда точки данных на кривой равноудалены друг от друга, Савицкого – Голея . можно использовать метод свертки ^[19] Лучшая функция свертки зависит в первую очередь от отношения сигнал/шум данных. ^[20] Первая производная (наклон, ${\frac {dy}{dx}}$ ) всех одиночных линий равно нулю в положении максимальной высоты. Это также верно и для третьей производной; нечетные производные можно использовать для определения положения максимума пика. ^[21]

Вторые производные, ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ , как гауссовы, так и лоренцевы функции имеют уменьшенную полуширину. Это, по-видимому, можно использовать для улучшения спектрального разрешения . На диаграмме показана вторая производная черной кривой на диаграмме над ней. В то время как меньший компонент образует плечо в спектре, во 2-м компоненте он проявляется как отдельный пик. производная. ^{[примечание 4]} Четвертые производные, ${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}$ , также можно использовать, когда отношение сигнал/шум в спектре достаточно велико. ^[22]

Деконволюция

Деконволюцию можно использовать для улучшения спектрального разрешения . В случае спектров ЯМР процесс относительно прямолинеен, поскольку формы линий являются лоренцевыми, и свертка одного лоренциана с другим лоренцианом также является лоренцевой. лоренциана Преобразование Фурье является экспоненциальным. В со-области (времени) спектроскопической области (частоты) свертка превращается в умножение. Следовательно, свертка суммы двух лоренцианов становится умножением двух экспонент в ко-области. Поскольку в FT-ЯМР измерения производятся во временной области, деление данных на экспоненту эквивалентно деконволюции в частотной области. Подходящий выбор экспоненты приводит к уменьшению полуширины линии в частотной области. Благодаря развитию технологии ЯМР этот метод практически устарел. ^[23] Аналогичный процесс применялся для повышения разрешения других типов спектров, но с тем недостатком, что спектр необходимо сначала преобразовать Фурье, а затем преобразовать обратно после применения функции деконволюции в сообласти спектра. ^[12]

См. также

Примечания

^ В статистике функции Лоренца (Коши) и Гаусса нормированы на единицу площади.
^ Экспериментальные профили, которые симметричны при построении в масштабе, пропорциональном энергии (например, частоте или волновому числу), не будут симметричными при построении в масштабе длины волны.
^ В электронном парамагнитном резонансе асимметричные линии характеризуются двумя полуширинами, измеренными по обе стороны от центра линии.
^ Максимумы пиков компонентов в спектре являются минимумами во 2-м. производный спектр и максимумы в 4-м. производный спектр

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Холлас, MJ (1996). Современная спектроскопия (3-е изд.). Уайли. стр. 30–34. ISBN 0471965227 .
^ Персик, г. (1981). «Теория барического уширения и смещения спектральных линий» . Достижения физики . 30 (3): 367–474. Бибкод : 1981AdPhy..30..367P . дои : 10.1080/00018738100101467 . Архивировано из оригинала 14 января 2013 г.
^ Ганс, Раздел 9.3, Свертка и взаимная корреляция
^ Оливеро, Джей-Джей; Р. Л. Лонгботум (1977). «Эмпирическое соответствие ширине линии Фойгта: краткий обзор». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 17 (2): 233–236. Бибкод : 1977JQSRT..17..233O . дои : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 .
^ Пита, Дж.; Джонс, Р.Н. (1966). «Сравнение методов оптимизации подгонки кривых к огибающим инфракрасного диапазона». Может. Дж. Чем . 44 (24): 3031–3050. дои : 10.1139/v66-445 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Мэддамс, ВФ (1980). «Объем и ограничения подбора кривой». Прикладная спектроскопия . 34 (3): 245–267. Бибкод : 1980ApSpe..34..245M . дои : 10.1366/0003702804730312 . S2CID 93996589 .
^ Крото, HW (1992). Спектры молекулярного вращения . Уайли. ISBN 0-486-49540-Х . Раздел 4.6. Формы и ширина линий.
^ Кларк, Дж. Х. Р., «Формы полос и молекулярная динамика в жидкостях», стр. 109-193, в « Достижениях в области инфракрасной и рамановской спектроскопии» , том 4 (1978), редакторы Кларк, Р.Дж.Х.; Хестер, RE
^ Брэдли, Майкл С.; Брату, Шерил (1997). «Профили колебательных линий как зонд молекулярных взаимодействий». Дж. Хим. Образование . 74 (5): 553. Бибкод : 1997ЖЧЭд..74..553Б . дои : 10.1021/ed074p553 .
^ Петракис, Леонидас (1967). «Формы спектральных линий: функции Гаусса и Лоренца в магнитном резонансе». Дж. Хим. Образование . 44 (8): 432. Бибкод : 1967ЖЧЭд..44..432П . дои : 10.1021/ed044p432 .
^ Jump up to: ^а ^б Браун, Марк А.; Семелка, Ричард К. (2010). МРТ: основные принципы и применение (4-е изд.). Уайли-Блэквелл. ISBN 978-0470500989 . Глава 3. Релаксация
^ Jump up to: ^а ^б Бласс, МЫ; Хэлси, GW (1981). Деконволюция спектров поглощения . Академическая пресса. ISBN 0121046508 .
^ Скуг, Д.А.; Уэст, ДХ; Холлер, Ф.Дж.; Крауч, СР (2004). Основы аналитической химии . Брукс/Коул. п. 796 . ISBN 0-03-035523-0 .
^ Ганс, раздел 8.3, гауссовы, лоренцевы и родственные функции
^ Сундиус, Т (1973). «Компьютерная подгонка профилей Фойгта к линиям комбинационного рассеяния света». Дж. Рамановский спектроск . 1 (5): 457–488. Бибкод : 1973JRSp....1..471S . дои : 10.1002/jrs.1250010506 .
^ Ганс, П; Гилл, Дж. Б. (1980). «Комментарии к критической оценке подбора кривых в инфракрасной спектрометрии». Анальный. Хим . 52 (2): 351–352. дои : 10.1021/ac50052a035 .
^ Арагони, Мария Карла; Арка, Массимилиано; Криспони, Гвидо; Нурчи, Валерия Марина (1995). «Одновременное разложение нескольких спектров на составляющие гауссовы пики». Аналитика Химика Акта . 316 (2): 195–204. дои : 10.1016/0003-2670(95)00354-3 .
^ Мост, ТП; Упал. АФ; Уордман, Р.Х. (1987). «Перспективы производной спектроскопии. Часть 1. Теоретические принципы». Журнал Общества красильщиков и колористов . 103 (1): 17–27. дои : 10.1111/j.1478-4408.1987.tb01081.x .
^ Савицкий, А.; Голей, MJE (1964). «Сглаживание и дифференциация данных с помощью упрощенных процедур наименьших квадратов». Аналитическая химия . 36 (8): 1627–1639. Бибкод : 1964АнаЧ..36.1627С . дои : 10.1021/ac60214a047 .
^ Ржевский, Александр М.; Мардилович, Петр П. (1994). «Обобщенный метод Ганса-Гилла для сглаживания и дифференцирования составных профилей на практике». Прикладная спектроскопия . 48 (1): 13–20. Бибкод : 1994ApSpe..48...13R . дои : 10.1366/0003702944027714 . S2CID 98163512 .
^ Ганс, с. 158
^ Антонов, Людмил (1997). «Четвертая производная спектроскопия — критический взгляд». Аналитика Химика Акта . 349 (1–3): 295–301. дои : 10.1016/S0003-2670(97)00210-9 .
^ Банвелл, Колин Н.; Маккэш, Элейн М. (1994). Основы молекулярной спектроскопии (4-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 40 . ISBN 0-07-707976-0 . Раздел 7.2.6. Упрощение сложных спектров.

Дальнейшее чтение

Аткинс, П.В.; де Паула, Дж. (2006). «13.3: Толщина линий». Физическая химия (8-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 436–438 . ISBN 0198700725 .
Дэвис, Кристофер К. (2000). Лазеры и электрооптика: основы и техника (Переиздание). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 27–30. ISBN 9780521484039 .
Демтредер, Вольфганг (2008). Лазерная спектроскопия. основные принципы (4-е изд.). Дроддрехт: Springer-Verlag. стр. 88–89 . ISBN 9783540734185 .
Де Натале, Паоло; Паскуале Маддалони; Марко Беллини (2013). Лазерные измерения во временной и частотной областях . Тейлор и Фрэнсис. стр. 181–183. ISBN 9781439841518 .
Ганс, П. (1992). Подгонка данных в химических науках . Уайли. ISBN 0-471-93412-7 .
Хьюитт, Джон (13 мая 2013 г.). «Манипулирование формой спектральных линий Лоренца и Фано» . физ.орг . Проверено 25 мая 2013 г.
Линн, Марк А. (2002). «11. Расширение линии». Спектроскопические измерения: введение в основы . Амстердам: Академическая пресса. стр. 283–303 . ISBN 9780080517537 .
Пеликан, Питер; Чеппан, Михал; Лиска, Марек (1994). Применение численных методов в молекулярной спектроскопии . ЦРК Пресс. ISBN 9780849373220 .
Пул младший, Чарльз П. (2004). «Форма линии». Энциклопедический словарь по физике конденсированного состояния . Том. 1. Академическая пресса. стр. 718–719. ISBN 9780080545233 .
Симмонс, Джозеф Х.; Поттер, Келли С. (2000). Оптические материалы ([Online-Ausg.] ред.). Сан-Диего, Калифорния: Академик. стр. 274–277. ISBN 9780126441406 .
Телле, Хельмут Х; Анхель Гонсалес Уренья; Роберт Дж. Донован (2007). Лазерно-химическая спектроскопия, динамика и приложения . Чичестер, Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons. стр. 24–25 . ISBN 9780470059401 .

Внешние ссылки

[4] В статистике функции Лоренца (Коши) и Гаусса нормированы на единицу площади.

[7] Экспериментальные профили, которые симметричны при построении в масштабе, пропорциональном энергии (например, частоте или волновому числу), не будут симметричными при построении в масштабе длины волны.

[9] В электронном парамагнитном резонансе асимметричные линии характеризуются двумя полуширинами, измеренными по обе стороны от центра линии.

[25] Максимумы пиков компонентов в спектре являются минимумами во 2-м. производный спектр и максимумы в 4-м. производный спектр

[Hollas-1] Jump up to: ^а ^б Холлас, MJ (1996). Современная спектроскопия (3-е изд.). Уайли. стр. 30–34. ISBN 0471965227 .

[2] Персик, г. (1981). «Теория барического уширения и смещения спектральных линий» . Достижения физики . 30 (3): 367–474. Бибкод : 1981AdPhy..30..367P . дои : 10.1080/00018738100101467 . Архивировано из оригинала 14 января 2013 г.

[3] Ганс, Раздел 9.3, Свертка и взаимная корреляция

[5] Оливеро, Джей-Джей; Р. Л. Лонгботум (1977). «Эмпирическое соответствие ширине линии Фойгта: краткий обзор». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 17 (2): 233–236. Бибкод : 1977JQSRT..17..233O . дои : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 .

[6] Пита, Дж.; Джонс, Р.Н. (1966). «Сравнение методов оптимизации подгонки кривых к огибающим инфракрасного диапазона». Может. Дж. Чем . 44 (24): 3031–3050. дои : 10.1139/v66-445 .

[mad-8] Jump up to: ^а ^б ^с Мэддамс, ВФ (1980). «Объем и ограничения подбора кривой». Прикладная спектроскопия . 34 (3): 245–267. Бибкод : 1980ApSpe..34..245M . дои : 10.1366/0003702804730312 . S2CID 93996589 .

[10] Крото, HW (1992). Спектры молекулярного вращения . Уайли. ISBN 0-486-49540-Х . Раздел 4.6. Формы и ширина линий.

[11] Кларк, Дж. Х. Р., «Формы полос и молекулярная динамика в жидкостях», стр. 109-193, в « Достижениях в области инфракрасной и рамановской спектроскопии» , том 4 (1978), редакторы Кларк, Р.Дж.Х.; Хестер, RE

[12] Брэдли, Майкл С.; Брату, Шерил (1997). «Профили колебательных линий как зонд молекулярных взаимодействий». Дж. Хим. Образование . 74 (5): 553. Бибкод : 1997ЖЧЭд..74..553Б . дои : 10.1021/ed074p553 .

[13] Петракис, Леонидас (1967). «Формы спектральных линий: функции Гаусса и Лоренца в магнитном резонансе». Дж. Хим. Образование . 44 (8): 432. Бибкод : 1967ЖЧЭд..44..432П . дои : 10.1021/ed044p432 .

[Brown-14] Jump up to: ^а ^б Браун, Марк А.; Семелка, Ричард К. (2010). МРТ: основные принципы и применение (4-е изд.). Уайли-Блэквелл. ISBN 978-0470500989 . Глава 3. Релаксация

[blass-15] Jump up to: ^а ^б Бласс, МЫ; Хэлси, GW (1981). Деконволюция спектров поглощения . Академическая пресса. ISBN 0121046508 .

[16] Скуг, Д.А.; Уэст, ДХ; Холлер, Ф.Дж.; Крауч, СР (2004). Основы аналитической химии . Брукс/Коул. п. 796 . ISBN 0-03-035523-0 .

[17] Ганс, раздел 8.3, гауссовы, лоренцевы и родственные функции

[18] Сундиус, Т (1973). «Компьютерная подгонка профилей Фойгта к линиям комбинационного рассеяния света». Дж. Рамановский спектроск . 1 (5): 457–488. Бибкод : 1973JRSp....1..471S . дои : 10.1002/jrs.1250010506 .

[19] Ганс, П; Гилл, Дж. Б. (1980). «Комментарии к критической оценке подбора кривых в инфракрасной спектрометрии». Анальный. Хим . 52 (2): 351–352. дои : 10.1021/ac50052a035 .

[20] Арагони, Мария Карла; Арка, Массимилиано; Криспони, Гвидо; Нурчи, Валерия Марина (1995). «Одновременное разложение нескольких спектров на составляющие гауссовы пики». Аналитика Химика Акта . 316 (2): 195–204. дои : 10.1016/0003-2670(95)00354-3 .

[21] Мост, ТП; Упал. АФ; Уордман, Р.Х. (1987). «Перспективы производной спектроскопии. Часть 1. Теоретические принципы». Журнал Общества красильщиков и колористов . 103 (1): 17–27. дои : 10.1111/j.1478-4408.1987.tb01081.x .

[22] Савицкий, А.; Голей, MJE (1964). «Сглаживание и дифференциация данных с помощью упрощенных процедур наименьших квадратов». Аналитическая химия . 36 (8): 1627–1639. Бибкод : 1964АнаЧ..36.1627С . дои : 10.1021/ac60214a047 .

[23] Ржевский, Александр М.; Мардилович, Петр П. (1994). «Обобщенный метод Ганса-Гилла для сглаживания и дифференцирования составных профилей на практике». Прикладная спектроскопия . 48 (1): 13–20. Бибкод : 1994ApSpe..48...13R . дои : 10.1366/0003702944027714 . S2CID 98163512 .

[24] Ганс, с. 158

[26] Антонов, Людмил (1997). «Четвертая производная спектроскопия — критический взгляд». Аналитика Химика Акта . 349 (1–3): 295–301. дои : 10.1016/S0003-2670(97)00210-9 .

[27] Банвелл, Колин Н.; Маккэш, Элейн М. (1994). Основы молекулярной спектроскопии (4-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 40 . ISBN 0-07-707976-0 . Раздел 7.2.6. Упрощение сложных спектров.

[1]

[2]

[3]

[примечание 1]

[4]

[5]

[примечание 2]

[6]

[примечание 3]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[примечание 4]

[22]

[23]