Распределение Максвелла – Больцмана

Эта статья об уровнях энергии и скорости частиц. Для энергетических состояний системы см. Распределение Больцмана .

Максвелл – Больцман

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$a>0$
Поддерживать	$x\in (0;\infty )$
PDF	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {x^{2}}{a^{3}}}\,\exp \left({\frac {-x^{2}}{2a^{2}}}\right)$ (где exp — показательная функция )
CDF	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {x}{a}}\,\exp \left({\frac {-x^{2}}{2a^{2}}}\right)$ (где erf — функция ошибок )
Иметь в виду	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
Режим	${\sqrt {2}}a$
Дисперсия	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
асимметрия	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
Избыточный эксцесс	$\gamma _{2}={\frac {4(-96+40\pi -3\pi ^{2})}{(3\pi -8)^{2}}}$
Энтропия	$\ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}$

В физике (в частности, в статистической механике ) распределение Максвелла-Больцмана , или распределение Максвелла (иан) — это особое распределение вероятностей, названное в честь Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана .

Впервые он был определен и использован для описания скоростей частиц в идеализированных газах , где частицы свободно движутся внутри неподвижного контейнера, не взаимодействуя друг с другом, за исключением очень коротких столкновений , при которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или со своей тепловой средой. Термин «частица» в этом контексте относится только к газообразным частицам ( атомам или молекулам ), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия . Энергии таких частиц соответствуют так называемой статистике Максвелла-Больцмана , а статистическое распределение скоростей получается путем приравнивания энергий частиц к кинетической энергии .

Математически распределение Максвелла-Больцмана представляет собой распределение хи с тремя степенями свободы (компонентами вектора скорости в евклидовом пространстве ) с параметром масштаба, измеряющим скорость в единицах, пропорциональных квадратному корню из $T/m$ (соотношение температуры и массы частицы).

Распределение Максвелла-Больцмана является результатом кинетической теории газов , которая дает упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газа, включая давление и диффузию . Распределение Максвелла-Больцмана в основном применимо к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от скорости ( величины скорости) частиц. Распределение вероятностей скоростей частиц указывает, какие скорости более вероятны: случайно выбранная частица будет иметь скорость, случайно выбранную из распределения, и с большей вероятностью будет находиться в одном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применима к классическому идеальному газу , который представляет собой идеализацию реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, взаимодействия Ван-дер-Ваальса , вихревой поток, релятивистские пределы скорости и квантовые обменные взаимодействия ), которые могут сделать их распределение скоростей отличным от формы Максвелла-Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя очень близко к идеальному газу, и распределение скоростей Максвелла является отличным приближением для таких газов. Это справедливо и для идеальной плазмы , представляющей собой ионизированные газы достаточно малой плотности.

Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на эвристических основаниях. Позже Больцман, в 1870-х годах, провел значительные исследования физической природы этого распределения. Распределение можно получить на том основании, что оно максимизирует энтропию системы. Список производных:

1. Распределение вероятности максимальной энтропии в фазовом пространстве с ограничением сохранения средней энергии $\langle H\rangle =E;$
2. Канонический ансамбль .

Функция распределения

Для системы, содержащей большое количество идентичных невзаимодействующих нерелятивистских классических частиц, находящихся в термодинамическом равновесии, доля частиц внутри бесконечно малого элемента трехмерного пространства скоростей d ³ v , с центром на векторе скорости ${\vec {v}}$ величины $v$, определяется $$f({\vec {v}})~d^{3}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)~d^{3}v,$$где:

• m – масса частицы;
• k — постоянная Больцмана ;
• Т – термодинамическая температура ;
• $f({\vec {v}})$ — функция распределения вероятностей, правильно нормированная так, что ${\textstyle \int f({\vec {v}})\,d^{3}v}$ по всем скоростям равна единице.

Плотность вероятности скорости зависит от скоростей нескольких благородных газов при температуре 298,15 К (25 ° C). По оси Y указано значение в с/м, так что площадь под любым участком кривой (которая представляет вероятность нахождения скорости в этом диапазоне) безразмерна.

Элемент пространства скоростей можно записать как $d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$, для скоростей в стандартной декартовой системе координат или как $d^{3}v=v^{2}\,dv\,d\Omega$ в стандартной сферической системе координат, где $d\Omega =\sin {\theta }d\phi d\theta$ является элементом телесного угла и $v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$

Функция распределения Максвелла для частиц, движущихся только в одном направлении, если это направление равно x , равна $$f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)~dv_{x},$$который можно получить путем интегрирования трехмерной формы, приведенной выше, по v _y и v _z .

Признавая симметрию $f(v)$, можно проинтегрировать по телесному углу и записать вероятностное распределение скоростей в виде функции

$$f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right).$$

Эта функция плотности вероятности дает вероятность на единицу скорости найти частицу со скоростью, близкой к v . Это уравнение представляет собой просто распределение Максвелла – Больцмана (приведенное в информационном окне) с параметром распределения ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ Распределение Максвелла – Больцмана эквивалентно распределению хи с тремя степенями свободы и параметром масштаба. ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$

Простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет распределение: $${\begin{aligned}&0=kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT),\\[4pt]&f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m}{2kT}}\right);\end{aligned}}$$

или в безразмерном представлении: $${\begin{aligned}&0=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]&f(1)={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}$$С помощью метода средних значений Дарвина-Фаулера распределение Максвелла-Больцмана получается как точный результат.

Моделирование двумерного газа, релаксирующего в направлении распределения скоростей Максвелла – Больцмана.

Релаксация к двумерному распределению Максвелла – Больцмана.

Для частиц, которые могут двигаться в плоскости, распределение скорости определяется выражением

$$P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2kT}}\right)ds$$

Это распределение используется для описания систем, находящихся в равновесии. Однако большинство систем изначально не находятся в равновесном состоянии. Эволюция системы к равновесному состоянию определяется уравнением Больцмана . Уравнение предсказывает, что для короткодействующих взаимодействий равновесное распределение скоростей будет следовать распределению Максвелла – Больцмана. Справа показано моделирование молекулярной динамики (МД), в котором 900 частиц твердых сфер вынуждены двигаться по прямоугольнику. Они взаимодействуют посредством совершенно упругих столкновений . Система инициализируется вне равновесия, но распределение скоростей (синий цвет) быстро сходится к двумерному распределению Максвелла – Больцмана (оранжевый цвет).

Типичные скорости

Распределение Максвелла – Больцмана, соответствующее солнечной атмосфере. Массы частиц равны массе одного протона , m _p = 1,67 × 10 ⁻²⁷ кг ≈ 1 Да , а температура — эффективная температура фотосферы Солнца , Т = 5800 К. ${\tilde {V}}$, ${\bar {V}}$, и обозначают _Vrms наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости соответственно. Их ценности ${\tilde {V}}$ ≈ 9,79 км/с , ${\bar {V}}$ ≈ 11,05 км/с и V _rms ≈ 12,00 км/с .

Средняя ​ скорость $\langle v\rangle$, наиболее вероятная скорость ( режим ) v _p и среднеквадратическая скорость ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ можно получить из свойств распределения Максвелла.

Это хорошо работает для почти идеальных гелий одноатомных газов, таких как , но также и для молекулярных газов, таких как двухатомный кислород . Это связано с тем, что, несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) из-за большего числа степеней свободы , их поступательная кинетическая энергия (и, следовательно, их скорость) не меняется.

• Наиболее вероятная скорость vp _— это скорость, которой с наибольшей вероятностью будет обладать любая молекула (той же массы m ) в системе, и она соответствует максимальному значению моде или f ( v ) . Чтобы его найти, вычислим производную ⁠ ${\tfrac {df}{dv}},$⁠ установите его на ноль и найдите v : $${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)=0$$ с решением: $${\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}$$где:
  • R — газовая постоянная ;
  • M — молярная масса вещества, поэтому ее можно рассчитать как произведение массы на константу Авогадро NA m _{частицы} : $M=mN_{\mathrm {A} }.$

Для двухатомного азота ( N ₂ , основной компонент воздуха ) при комнатной температуре ( 300 К ) это дает $$v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.$$

• Средняя скорость — это ожидаемое значение распределения скорости, устанавливающее ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$: $${\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$
• Средняя квадратичная скорость $\langle v^{2}\rangle$ второго порядка – необработанный момент распределения скорости. «Среднеквадратическая скорость» $v_{\mathrm {rms} }$ - квадратный корень из среднеквадратичной скорости, соответствующей скорости частицы со средней кинетической энергией , устанавливая ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$:

$${\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$

Таким образом, типичные скорости связаны следующим образом: $$v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.$$

Среднеквадратическая скорость напрямую связана со скоростью звука c в газе соотношением $$c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},$$где ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$ – показатель адиабаты , f – число степеней свободы отдельной молекулы газа. В приведенном выше примере двухатомный азот (приблизительно к воздуху ) при 300 К , $f=5$ и $$c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,$$истинное значение для воздуха можно аппроксимировать, используя среднюю молярную массу воздуха ( 29 г/моль ), что дает 347 м/с при 300 К (поправки на переменную влажность составляют порядка 0,1–0,6%).

Средняя относительная скорость $${\begin{aligned}v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle &=\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}$$где трехмерное распределение скорости равно $$f({\vec {v}})\equiv \left[{\frac {2\pi kT}{m}}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{kT}}\right).$$

Интеграл можно легко получить, перейдя к координатам ${\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ и ${\vec {U}}={\tfrac {{\vec {v}}_{1}\,+\,{\vec {v}}_{2}}{2}}.$

Ограничения

Распределение Максвелла-Больцмана предполагает, что скорости отдельных частиц намного меньше скорости света, т.е. что $T\ll {\frac {mc^{2}}{k_{B}}}$. Для электронов температура электронов должна быть $T_{e}\ll 5.93\times 10^{9}$ К.

Вывод и связанные с ним распределения

Статистика Максвелла – Больцмана

Основные статьи: статистика Максвелла – Больцмана § Выводы и распределение Больцмана

Первоначальный вывод Джеймса Клерка Максвелла, сделанный в 1860 году , был аргументом, основанным на молекулярных столкновениях кинетической теории газов , а также на определенных симметриях в функции распределения по скорости; Максвелл также выдвинул один из первых аргументов в пользу того, что эти молекулярные столкновения влекут за собой тенденцию к равновесию. После Максвелла Людвиг Больцман в 1872 г. также вывел распределение на механических основаниях и утверждал, что газы должны со временем стремиться к этому распределению из-за столкновений (см. H-теорему ). Позже он (1877 г.) снова вывел распределение в рамках статистической термодинамики . Выводы в этом разделе аналогичны выводам Больцмана 1877 года, начиная с результата, известного как статистика Максвелла – Больцмана (из статистической термодинамики). Статистика Максвелла – Больцмана дает среднее количество частиц, находящихся в данном одночастичном микросостоянии . При некоторых предположениях логарифм доли частиц в данном микросостоянии линейен по отношению энергии этого состояния к температуре системы: существуют константы $k$ и $C$ такой, что для всех $i$, $$-\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.$$Предположения этого уравнения заключаются в том, что частицы не взаимодействуют и являются классическими; это означает, что состояние каждой частицы можно рассматривать независимо от состояний других частиц. Кроме того, предполагается, что частицы находятся в тепловом равновесии.

Это соотношение можно записать в виде уравнения, введя нормирующий множитель:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}{\displaystyle \sum _{j}\exp \left(-{\tfrac {E_{j}}{kT}}\right)}}$ ( 1 )

где:

• Ni _— ожидаемое число частиц в одночастичном микросостоянии i ,
• N – общее количество частиц в системе,
• E _i — энергия микросостояния i ,
• сумма по индексу j учитывает все микросостояния,
• Т – равновесная температура системы,
• k — постоянная Больцмана .

Знаменатель в уравнении ( 1 ) является нормировочным коэффициентом, так что отношения $N_{i}:N$ в сумме дают единицу — другими словами, это своего рода статистическая сумма (для одночастичной системы, а не обычная статистическая сумма всей системы).

Поскольку скорость и скорость связаны с энергией, уравнение ( 1 ) можно использовать для вывода взаимосвязи между температурой и скоростями частиц газа. Все, что нужно, — это обнаружить плотность микросостояний по энергии, которая определяется разделением импульсного пространства на области одинакового размера.

Распределение вектора импульса

Потенциальная энергия принимается равной нулю, так что вся энергия находится в форме кинетической энергии.Связь между кинетической энергией и импульсом для массивных нерелятивистских частиц имеет вид

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$ ( 2 )

где р ² квадрат вектора импульса p = [ p _x , p _y , p _z ] . Поэтому мы можем переписать уравнение ( 1 ) так:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left(-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right)$ ( 3 )

где:

• Z — статистическая сумма , соответствующая знаменателю в уравнении ( 1 );
• m – молекулярная масса газа;
• Т – термодинамическая температура;
• k — постоянная Больцмана .

распределение N _i : N пропорционально p функции плотности вероятности f _Это для нахождения молекулы с этими значениями компонентов импульса, поэтому:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)$ ( 4 )

Нормализующую константу можно определить, если учесть, что вероятность наличия у молекулы некоторого импульса должна быть равна 1.Интегрирование экспоненты в ( ) по всем p _x , py ₄ и p _z дает коэффициент $$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}}{\Bigr ]}^{3}$$

Итак, нормированная функция распределения:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)$   ( 6 )

Распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных. $p_{x}$, $p_{y}$, и $p_{z}$, с отклонением $mkT$. Кроме того, можно видеть, что величина импульса будет распределяться как распределение Максвелла – Больцмана, причем $a={\sqrt {mkT}}$. Распределение Максвелла – Больцмана для импульса (или, что равно, для скоростей) можно получить более фундаментально, используя H-теорему в равновесии в рамках кинетической теории газов .

Распределение энергии

Распределение энергии оказывается впечатляющим

$f_{E}(E)\,dE=f_{p}({\textbf {p}})\,d^{3}{\textbf {p}},$ ( 7 )

где $d^{3}{\textbf {p}}$ — бесконечно малый фазовый объем импульсов, соответствующий энергетическому интервалу dE .Используя сферическую симметрию дисперсионного уравнения энергии-импульса $E={\tfrac {|{\textbf {p}}|^{2}}{2m}},$ это можно выразить через dE как

$d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE.$ ( 8 )

Используя тогда ( 8 ) в ( 7 ) и выражая все через энергию E , получаем $${\begin{aligned}f_{E}(E)dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[2pt]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)\,dE\end{aligned}}$$и наконец

$f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)$   ( 9 )

Поскольку энергия пропорциональна сумме квадратов трех нормально распределенных компонентов импульса, это распределение энергии можно эквивалентно записать как гамма-распределение , используя параметр формы: $k_{\text{shape}}=3/2$ и параметр масштаба, $\theta _{\text{scale}}=kT.$

Используя теорему о равнораспределении , учитывая, что энергия равномерно распределена между всеми тремя степенями свободы в равновесии, мы также можем разделить $f_{E}(E)dE$ на набор распределений хи-квадрат , где энергия на степень свободы ε распределяется как распределение хи-квадрат с одной степенью свободы, $$f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon kT}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)\,d\varepsilon$$

В состоянии равновесия это распределение будет справедливым для любого числа степеней свободы. Например, если частицы представляют собой диполи жесткой массы с фиксированным дипольным моментом, они будут иметь три поступательные степени свободы и две дополнительные вращательные степени свободы. Энергия в каждой степени свободы будет описываться согласно вышеуказанному распределению хи-квадрат с одной степенью свободы, а полная энергия будет распределяться согласно распределению хи-квадрат с пятью степенями свободы. Это имеет значение для теории удельной теплоемкости газа.

Распределение вектора скорости

Учитывая, что плотность вероятности скорости f _v пропорциональна функции плотности вероятности импульса по формуле

$$f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v$$

и используя p = m v, мы получаем

$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right)$

что представляет собой распределение скорости Максвелла – Больцмана. Вероятность найти частицу со скоростью в бесконечно малом элементе [ dv _x , dv _y , dv _z ] относительно скорости v = [ v _x , v _y , v _z ] равна

$$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$$

Как и импульс, это распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных. $v_{x}$, $v_{y}$, и $v_{z}$, но с отклонением ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$.Также можно видеть, что распределение скорости Максвелла – Больцмана для векторной скорости [ v _x , v _y , v _z ] — произведение распределений для каждого из трех направлений: $$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})$$где распределение для одного направления равно $$f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2kT}}\right).$$

Каждая компонента вектора скорости имеет нормальное распределение со средним значением $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ и стандартное отклонение ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$, поэтому вектор имеет трехмерное нормальное распределение, особый вид многомерного нормального распределения со средним значением $\mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0}$ и ковариация ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$, где $I$ — единичная матрица 3 × 3 .

Распределение по скорости

Распределение скорости Максвелла – Больцмана сразу следует из распределения вектора скорости, приведенного выше. Обратите внимание, что скорость $$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$$и элемент объема в сферических координатах $$dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega$$ где $\phi$ и $\theta$ – сферические координатные углы вектора скорости. Интегрирование функции плотности вероятности скорости по телесным углам $d\Omega$ дает дополнительный коэффициент $4\pi$.Распределение скорости с заменой скорости на сумму квадратов компонент вектора:

$f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right).$

В n -мерном пространстве

В n -мерном пространстве распределение Максвелла – Больцмана принимает вид: $$f(v)~d^{n}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {n}{2}}\,\exp \left(-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}\right)~d^{n}v$$

Распределение скорости становится: $$f(v)~dv={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\times v^{n-1}~dv$$

Полезен следующий интегральный результат: $${\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)}{2}}\end{aligned}}$$где $\Gamma (z)$ это гамма-функция . Этот результат можно использовать для расчета моментов функции распределения скорости: $${\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\end{aligned}}$$что является самой средней скоростью ${\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

$${\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}$$что дает среднеквадратическую скорость ${\textstyle v_{\rm {rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nkT}{m}}}.}$

Производная функции распределения скорости: $${\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0$$

Это дает наиболее вероятную скорость ( режим ) ${\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)kT}{m}}}.}$

См. также

• Квантовое уравнение Больцмана
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Распределение Максвелла – Юттнера
• Распределение Больцмана
• Распределение Рэлея
• Кинетическая теория газов

Дальнейшее чтение

• Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П. А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008 г., ISBN   0-7167-8964-7
• Термодинамика, От концепций к приложениям (2-е издание), А. Шавит, К. Гутфингер, CRC Press (Taylor and Francisco Group, США), 2009 г., ISBN   978-1-4200-7368-3
• Химическая термодинамика , DJG Ives, Университет химии, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN   0-356-03736-3
• Элементы статистической термодинамики (2-е издание), Л. К. Нэш, Принципы химии, Аддисон-Уэсли, 1974, ISBN   0-201-05229-6
• Уорд, К.А. и Фанг, Г. 1999, «Выражение для прогнозирования потока испарения жидкости: подход статистической теории скорости», Physical Review E , vol. 59, нет. 1, стр. 429–40.
• Рахими, П и Уорд, Калифорния, 2005, «Кинетика испарения: подход статистической теории скорости», Международный журнал термодинамики , том. 8, нет. 9, стр. 1–14.

Внешние ссылки

• «Распределение скорости Максвелла» из демонстрационного проекта Wolfram в Mathworld