Квантовое уравнение Больцмана

Квантовое уравнение Больцмана, также известное как уравнение Улинга-Уленбека , — это квантовомеханическая модификация уравнения Больцмана , которая дает неравновесную временную эволюцию газа квантовомеханически взаимодействующих частиц. Обычно квантовое уравнение Больцмана представляет собой только «член столкновения» полного уравнения Больцмана, дающий изменение распределения импульса локально однородного газа, но не дрейф и диффузию в пространстве. Первоначально он был сформулирован Л. В. Нордхаймом (1928 г.): и Э. А. Юлинг и Джордж Уленбек (1933).

В полной общности (включая члены дрейфа в p-пространстве и x-пространстве, которыми часто пренебрегают) уравнение представляется аналогично уравнению Больцмана.

$$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{x}+\mathbf {F} \cdot \nabla _{p}\right]f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)={\mathcal {Q}}[f](\mathbf {x} ,\mathbf {p} )$$

где $\mathbf {F}$ представляет собой внешний приложенный потенциал, действующий на распределение газа в p-пространстве и ${\mathcal {Q}}$ – оператор столкновений, учитывающий взаимодействия между частицами газа. Квантовую механику необходимо представить в точном виде ${\mathcal {Q}}$, который зависит от физики моделируемой системы.

Квантовое уравнение Больцмана дает необратимое поведение и, следовательно, стрелу времени ; то есть по прошествии достаточно длительного времени оно дает равновесное распределение, которое больше не меняется. Хотя квантовая механика микроскопически обратима во времени, квантовое уравнение Больцмана дает необратимое поведение, поскольку информация о фазе отбрасывается. сохраняется только среднее число заполнения квантовых состояний. Таким образом, решение квантового уравнения Больцмана является хорошим приближением к точному поведению системы на временных масштабах, коротких по сравнению с временем возврата Пуанкаре , что обычно не является серьезным ограничением, поскольку время возврата Пуанкаре может во много раз превышать возраст Вселенная даже в небольших системах.

Квантовое уравнение Больцмана было проверено путем прямого сравнения с экспериментальными измерениями с временным разрешением и в целом нашло широкое применение в полупроводниковой оптике. энергетическое распределение газа экситонов в зависимости от времени (в пикосекундах), измеренное с помощью стрик-камеры. Например, показано приблизиться к равновесному распределению Максвелла-Больцмана .

Приложение к физике полупроводников

Типичная модель полупроводника может быть построена на предположениях, что:

1. Распределение электронов пространственно однородно в разумном приближении (поэтому вся зависимость от x может быть подавлена)
2. Внешний потенциал является функцией только положения и изотропен в p-пространстве, поэтому $\mathbf {F}$ может быть установлено равным нулю без потери дальнейшей общности.
3. Газ настолько разбавлен, что трехчастичным взаимодействием между электронами можно пренебречь.

Учитывая обмен импульсами $\mathbf {q}$ между электронами с начальными импульсами $\mathbf {k}$ и $\mathbf {k_{1}}$, то можно получить выражение

$${\mathcal {Q}}[f](\mathbf {k} )={\frac {-2}{\hbar (2\pi )^{5}}}\int d\mathbf {q} \int d\mathbf {k_{1}} |{\hat {v}}(\mathbf {q} )|^{2}\delta \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(|\mathbf {k-q} |^{2}+|\mathbf {k_{1}+q} |^{2}-\mathbf {k} _{1}^{2}-\mathbf {k} ^{2})\right)\left[f_{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k_{1}} }(1-f_{\mathbf {k-q} })(1-f_{\mathbf {k_{1}+q} })-f_{\mathbf {k-q} }f_{\mathbf {k_{1}+q} }(1-f_{\mathbf {k} })(1-f_{\mathbf {k_{1}} })\right]$$