Нормально-обратное распределение Гаусса

Нормально-обратный гауссиан (NIG)

Параметры	$\mu$ местоположение ( реальное ) $\alpha$ тяжесть хвоста (реальная) $\beta$ параметр асимметрии (действительный) $\delta$ параметр масштаба (действительный) $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$
Поддерживать	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	${\frac {\alpha \delta K_{1}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\pi {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}}}\;e^{\delta \gamma +\beta (x-\mu )}$ $K_{j}$ обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода
Иметь в виду	$\mu +\delta \beta /\gamma$
Дисперсия	$\delta \alpha ^{2}/\gamma ^{3}$
асимметрия	$3\beta /(\alpha {\sqrt {\delta \gamma }})$
Избыточный эксцесс	$3(1+4\beta ^{2}/\alpha ^{2})/(\delta \gamma )$
МГФ	$e^{\mu z+\delta (\gamma -{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}$
CF	$e^{i\mu z+\delta (\gamma -{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iz)^{2}}})}$

Нормально -обратное распределение Гаусса ( NIG , также известное как нормальное распределение Вальда ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей , которое определяется как нормальная смесь дисперсии и среднего , где плотность смешивания является обратным распределением Гаусса . Распределение NIG было отмечено Блезилдом в 1977 году как подкласс обобщенного гиперболического распределения, открытого Оле Барндорфом-Нильсеном . В следующем году Барндорф-Нильсен опубликовал NIG в другой статье. Он был введен в математическую финансовую литературу в 1997 году.

Параметры нормально-обратного распределения Гаусса часто используются для построения графика тяжести и асимметрии, называемого NIG-треугольником.

Характеристики

Моменты

Тот факт, что существует простое выражение для производящей функции момента, означает, что доступны простые выражения для всех моментов.

Линейное преобразование

Этот класс замкнут относительно аффинных преобразований , поскольку является частным случаем обобщенного гиперболического распределения , обладающего тем же свойством. Если

$x\sim {\mathcal {NIG}}(\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ){\text{ and }}y=ax+b,$

затем

$y\sim {\mathcal {NIG}}{\bigl (}{\frac {\alpha }{\left|a\right|}},{\frac {\beta }{a}},\left|a\right|\delta ,a\mu +b{\bigr )}.$

Суммирование

Этот класс бесконечно делим , поскольку является частным случаем обобщенного гиперболического распределения , обладающего тем же свойством.

Свертка

Класс нормально-обратных гауссовских распределений замкнут относительно свертки в следующем смысле: если $X_{1}$ и $X_{2}$ являются независимыми случайными величинами , имеющими NIG-распределение при одинаковых значениях параметров $\alpha$ и $\beta$, но возможно разные значения параметров местоположения и масштаба, $\mu _{1}$, $\delta _{1}$ и $\mu _{2},$ $\delta _{2}$, соответственно, тогда $X_{1}+X_{2}$ распространяется NIG с параметрами $\alpha ,$ $\beta ,$$\mu _{1}+\mu _{2}$ и $\delta _{1}+\delta _{2}.$

Связанные дистрибутивы

Класс NIG-распределений представляет собой гибкую систему распределений, включающую распределения с толстым хвостом и асимметричные распределения, а также нормальное распределение , $N(\mu ,\sigma ^{2}),$ возникает как частный случай, если установить $\beta =0,\delta =\sigma ^{2}\alpha ,$ и позволяя $\alpha \rightarrow \infty$.

Случайный процесс

Нормально-обратное гауссово распределение можно также рассматривать как маргинальное распределение нормально-обратного гауссовского процесса, которое обеспечивает альтернативный способ его явного построения. Начиная с дрейфующего броуновского движения ( винеровского процесса ), $W^{(\gamma )}(t)=W(t)+\gamma t$, мы можем определить обратный гауссов процесс $A_{t}=\inf\{s>0:W^{(\gamma )}(s)=\delta t\}.$ Тогда, учитывая второе независимое дрейфующее броуновское движение, $W^{(\beta )}(t)={\tilde {W}}(t)+\beta t$, нормальный обратный гауссовский процесс - это процесс с изменением времени $X_{t}=W^{(\beta )}(A_{t})$. Процесс $X(t)$ во время $t=1$ имеет нормально-обратное распределение Гаусса, описанное выше. Процесс NIG является частным примером более общего класса процессов Леви .

Как смесь дисперсии и среднего

Позволять ${\mathcal {IG}}$ обозначают обратное распределение Гаусса и ${\mathcal {N}}$ обозначают нормальное распределение . Позволять $z\sim {\mathcal {IG}}(\delta ,\gamma )$, где $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$; и пусть $x\sim {\mathcal {N}}(\mu +\beta z,z)$, затем $x$ следует за распределением NIG с параметрами, $\alpha ,\beta ,\delta ,\mu$. Это можно использовать для генерации вариаций NIG путем выборки предков . Его также можно использовать для получения EM-алгоритма для оценки максимального правдоподобия параметров NIG.