Распространение Скеллама

Хлопок

Функция массы вероятности Примеры функции массы вероятности для распределения Скеллама. Горизонтальная ось — индекс k . (Функция определена только при целочисленных значениях k . Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
Параметры	$\mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0$
Поддерживать	$k\in \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$
ПМФ	$e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$
Иметь в виду	$\mu _{1}-\mu _{2}\,$
медиана	Н/Д
Дисперсия	$\mu _{1}+\mu _{2}\,$
асимметрия	${\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {1}{\mu _{1}+\mu _{2}}}$
МГФ	$e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}$
CF	$e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}$

Распределение Скеллама — это дискретное распределение вероятностей разности. $N_{1}-N_{2}$ двух статистически независимых случайных величин $N_{1}$ и $N_{2},$ каждое распределено по Пуассону с соответствующими ожидаемыми значениями $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$. Он полезен при описании статистики разницы двух изображений с помощью простого фотонного шума , а также при описании распределения разброса очков в видах спорта, где все набранные очки равны, таких как бейсбол , хоккей и футбол .

Распределение также применимо к частному случаю различия зависимых случайных величин Пуассона, но это лишь очевидный случай, когда две переменные имеют общий аддитивный случайный вклад, который компенсируется разницей: подробности см. в Karlis & Ntzoufras (2003) и приложение.

Функция массы вероятности распределения Скеллама для разности $K=N_{1}-N_{2}$ между двумя независимыми случайными величинами, распределенными по Пуассону, со средними значениями $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ дается:

$p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$

где I _k ( z ) — модифицированная функция Бесселя первого рода. Поскольку k — целое число, мы имеем, что I _k ( z )= I _|k| ( з ).

Вывод

Функция массы вероятности случайной величины , распределенной по Пуассону, со средним значением µ определяется выражением

$p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }.\,$

для $k\geq 0$ (и ноль в противном случае). Массовая функция вероятности Скеллама для разницы двух независимых отсчетов $K=N_{1}-N_{2}$ представляет собой свертку двух распределений Пуассона: ( Скеллам , 1946)

${\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}\end{aligned}}$

Поскольку распределение Пуассона равно нулю при отрицательных значениях счетчика $(p(N<0;\mu )=0)$, вторая сумма берется только для тех членов, где $n\geq 0$ и $n+k\geq 0$. Можно показать, что из приведенной выше суммы следует, что

${\frac {p(k;\mu _{1},\mu _{2})}{p(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}$

так что:

$p(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$

где I   _k (z) — модифицированная функция Бесселя первого рода. Особый случай для $\mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )$ приводит Ирвин (1937):

$p\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).$

Используя предельные значения модифицированной функции Бесселя для малых аргументов, мы можем восстановить распределение Пуассона как частный случай распределения Скеллама для $\mu _{2}=0$.

Характеристики

Поскольку это дискретная функция вероятности, массовая функция вероятности Скеллама нормируется:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.$

Мы знаем, что производящая функция вероятности (pgf) для распределения Пуассона :

$G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.$

Отсюда следует, что пгф, $G(t;\mu _{1},\mu _{2})$, для функции массы вероятности Скеллама будет:

${\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}$

Обратите внимание, что форма функции, порождающей вероятность, подразумевает, что распределение сумм или разностей любого количества независимых переменных, распределенных по Скелламу, снова является распределенным по Скелламу. Иногда утверждают, что любая линейная комбинация двух переменных, распределенных по Скелламу, снова является распределенной по Скелламу, но это явно не так, поскольку любой множитель, отличный от $\pm 1$ изменило бы поддержку распределения и изменило бы структуру моментов так, как не может удовлетворить ни одно распределение Скеллама.

определяется Создающая момент функция выражением:

$M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}$

что дает необработанные моменты m _k . Определять:

$\Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}\,$

$\mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2.\,$

Тогда исходные моменты m _k равны

$m_{1}=\left.\Delta \right.\,$

$m_{2}=\left.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,$

$m_{3}=\left.\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,$

Центральные моменты M _k равны

$M_{2}=\left.2\mu \right.,\,$

$M_{3}=\left.\Delta \right.,\,$

$M_{4}=\left.2\mu +12\mu ^{2}\right..\,$

Среднее значение , дисперсия , асимметрия и эксцесс равны соответственно:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}$

Кумулянт -генерирующая функция определяется следующим образом:

$K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa _{k}$

что дает кумулянты :

$\kappa _{2k}=\left.2\mu \right.$

$\kappa _{2k+1}=\left.\Delta \right..$

В частном случае, когда µ ₁ = µ ₂ , асимптотическое разложение модифицированной функции Бесселя первого рода дает при больших ц:

$p(k;\mu ,\mu )\sim {1 \over {\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\{4k^{2}-1^{2}\}\{4k^{2}-3^{2}\}\cdots \{4k^{2}-(2n-1)^{2}\} \over n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}\right].$

(Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 377). Кроме того, для этого особого случая, когда k также велико и имеет порядок квадратного корня из 2μ, распределение стремится к нормальному распределению :

$p(k;\mu ,\mu )\sim {e^{-k^{2}/4\mu } \over {\sqrt {4\pi \mu }}}.$

Эти специальные результаты можно легко распространить на более общий случай различных средств.

Границы веса выше нуля

Если $X\sim \operatorname {Skellam} (\mu _{1},\mu _{2})$, с $\mu _{1}<\mu _{2}$, затем

${\frac {\exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})$

Подробности можно найти в разделе Распределение Пуассона # Гонки Пуассона.

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (июнь 1965 г.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (Полная и неизмененная республика [der Ausg.] 1964, 5. Изд. Дуврской печати). Дуврские публикации. стр. 374–378. ISBN  0486612724 . Проверено 27 сентября 2012 г.
• Ирвин, Дж.О. (1937) «Частотное распределение разницы между двумя независимыми переменными, соответствующее одному и тому же распределению Пуассона». Журнал Королевского статистического общества : Серия A , 100 (3), 415–416. JSTOR   2980526
• Карлис Д. и Нцуфрас И. (2003) «Анализ спортивных данных с использованием двумерных моделей Пуассона». Журнал Королевского статистического общества, серия D , 52 (3), 381–393. дои : 10.1111/1467-9884.00366
• Карлис Д. и Нцуфрас И. (2006). Байесовский анализ различий данных подсчета. Статистика в медицине , 25, 1885–1905 гг. [1]
• Скеллам, Дж. Г. (1946) «Частотное распределение разницы между двумя вариантами Пуассона, принадлежащими разным популяциям». Журнал Королевского статистического общества, серия A , 109 (3), 296. JSTOR   2981372.

См. также

• Распределение отношений для (усеченных) распределений Пуассона