Центральный момент

В теории вероятностей и статистике центральный момент — это момент распределения вероятностей случайной величины случайной величины относительно среднего значения ; то есть это ожидаемое значение заданной целочисленной степени отклонения случайной величины от среднего значения. Различные моменты образуют один набор значений, с помощью которых можно с пользой охарактеризовать свойства распределения вероятностей. Центральные моменты используются предпочтительнее обычных моментов, вычисляемых с точки зрения отклонений от среднего значения, а не от нуля, поскольку центральные моменты более высокого порядка относятся только к разбросу и форме распределения, а не к его местоположению .

Наборы центральных моментов могут быть определены как для одномерных, так и для многомерных распределений.

Одномерные моменты

N - й момент относительно среднего значения (или n- й центральный момент ) действительной случайной величины X — это величина µ _n := E[( X − E[ X ]) ^н ], где E — оператор ожидания . Для непрерывного одномерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x ) n -й момент относительно среднего значения µ равен

$\mu _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Для случайных величин, не имеющих среднего значения, таких как распределение Коши , центральные моменты не определены.

Первые несколько центральных моментов имеют интуитивную интерпретацию:

• «Нулевой» центральный момент μ ₀ равен 1.
• Первый центральный момент µ ₁ равен 0 (не путать с первым исходным моментом или ожидаемым значением µ ).
• Второй центральный момент µ ₂ называется дисперсией и обычно обозначается σ ² , где σ представляет собой стандартное отклонение .
• Третий и четвертый центральные моменты используются для определения стандартизированных моментов , которые используются для определения асимметрии и эксцесса соответственно.

Характеристики

Для всех n n центральный -й момент однороден степени n :

$\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,$

Только для n, , что n равно 1, 2 или 3, у нас есть свойство аддитивности для независимых случайных X и Y величин такого :

$\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,$ при условии, что n ∈ {1, 2, 3} .

Родственный функционал, который разделяет свойства трансляционной инвариантности и однородности с n -м центральным моментом, но продолжает обладать этим свойством аддитивности, даже когда n ≥ 4 является n -м кумулянтом κ _n ( X ). Для n = 1 n -й кумулянт — это просто ожидаемое значение ; для n = 2 или 3 n -й кумулянт — это просто n- й центральный момент; для n ≥ 4 кумулянт n -й степени представляет собой монический многочлен n -й степени в первые n моментов (около нуля), а также (более простой) полином n -й степени в первые n центральных моментов.

Отношение к моментам о происхождении

Иногда удобно преобразовать моменты начала координат в моменты среднего значения. Общее уравнение для преобразования момента n -го порядка относительно начала координат в момент относительно среднего значения:

$\mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},$

где μ — среднее значение распределения, а момент относительно начала координат определяется выражением

$\mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.$

Для случаев n = 2, 3, 4, которые представляют наибольший интерес из-за отношений к дисперсии , асимметрии и эксцессу соответственно, эта формула становится (отмечая, что $\mu =\mu '_{1}$ и $\mu '_{0}=1$):

$\mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,$ который обычно называют $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}$

$\mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,$

$\mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,$

... и так далее, следуя треугольнику Паскаля , т.е.

$\mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,$

потому что $5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}$

Следующая сумма представляет собой стохастическую переменную, имеющую сложное распределение.

$W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},$

где $Y_{i}$ являются взаимно независимыми случайными величинами, имеющими одно и то же общее распределение и $M$ случайная целочисленная переменная, независимая от $Y_{k}$ со своим собственным дистрибутивом. Моменты $W$ получаются как

$\operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],$

где $\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right]$ определяется как ноль для $j=0$.

Симметричные распределения

В распределениях, которые симметричны относительно своих средних значений (на которые не влияет отражение среднего значения), все нечетные центральные моменты равны нулю, когда бы они ни существовали, поскольку в формуле для n -го момента каждый член включает значение X меньше среднего на определенная сумма точно отменяет член, включающий значение X, превышающее среднее значение на ту же сумму.

Многовариантные моменты

Для непрерывного двумерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x , y ) момент ( j , k ) относительно среднего значения µ = ( µ _X , µ _Y ) равен

$\mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.$

Центральный момент комплексных случайных величин

й центральный n- момент для комплексной случайной величины X определяется как

$\alpha _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right],$

Абсолютный n- й центральный момент X определяется как

$\beta _{n}=\operatorname {E} \left[|(X-\operatorname {E} [X])|^{n}\right].$

Центральный момент 2-го порядка 2 _{называется} дисперсией X , тогда как центральный момент 2-го порядка α ₂ является псевдодисперсией X β .

См. также

• Стандартизированный момент
• Момент изображения
• Нормальное распределение § Моменты
• Сложная случайная величина