Экспоненциально-логарифмическое распределение

Экспоненциально-логарифмическое распределение (EL)

Функция плотности вероятности
Параметры	$p\in (0,1)$ $\beta >0$
Поддерживать	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {1}{-\ln p}}\times {\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}$
CDF	$1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}}$
Иметь в виду	$-{\frac {{\text{polylog}}(2,1-p)}{\beta \ln p}}$
медиана	${\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}$
Режим	0
Дисперсия	$-{\frac {2{\text{polylog}}(3,1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}$ $-{\frac {{\text{polylog}}^{2}(2,1-p)}{\beta ^{2}\ln ^{2}p}}$
МГФ	$-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}{\text{hypergeom}}_{2,1}$ $([1,{\frac {\beta -t}{\beta }}],[{\frac {2\beta -t}{\beta }}],1-p)$

В теории вероятностей и статистике экспоненциально -логарифмическое (EL) распределение представляет собой семейство распределений времени жизни субывающая интенсивность отказов , определенная на интервале [0, ∞). Это распределение параметризуется двумя параметрами $p\in (0,1)$ и $\beta >0$.

Введение

Изучение продолжительности жизни организмов, устройств, материалов и т. д. имеет большое значение в биологических и технических науках. В общем, ожидается, что срок службы устройства будет демонстрировать снижение частоты отказов (DFR), когда его поведение с течением времени характеризуется «упрочнением» (в инженерных терминах) или «иммунитетом» (в биологических терминах).

Экспоненциально-логарифмическая модель вместе с ее различными свойствами изучается Тахмасби и Резаи (2008). Эта модель получена в рамках концепции неоднородности населения (путем процессакомпаундирование).

Свойства распределения

Распределение

Функция плотности вероятности (pdf) распределения EL дана Тахмасби и Резаи (2008).

$f(x;p,\beta ):=\left({\frac {1}{-\ln p}}\right){\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}$

где $p\in (0,1)$ и $\beta >0$. Эта функция строго убывает $x$ и стремится к нулю, так как $x\rightarrow \infty$. Распределение EL имеет модальное значение плотности при x=0, определяемое выражением

${\frac {\beta (1-p)}{-p\ln p}}$

EL сводится к экспоненциальному распределению с параметром скорости $\beta$, как $p\rightarrow 1$.

Кумулятивная функция распределения определяется выражением

$F(x;p,\beta )=1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},$

и, следовательно, медиана определяется выражением

$x_{\text{median}}={\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}$.

Моменты

момента Производящая функция $X$ может быть определен из PDF-файла путем прямого интегрирования и определяется выражением

$M_{X}(t)=E(e^{tX})=-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}F_{2,1}\left(\left[1,{\frac {\beta -t}{\beta }}\right],\left[{\frac {2\beta -t}{\beta }}\right],1-p\right),$

где $F_{2,1}$ является гипергеометрической функцией . Эта функция также известна как расширенная гипергеометрическая функция Барнса . Определение $F_{N,D}({n,d},z)$ является

$F_{N,D}(n,d,z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}\prod _{i=1}^{p}\Gamma (n_{i}+k)\Gamma ^{-1}(n_{i})}{\Gamma (k+1)\prod _{i=1}^{q}\Gamma (d_{i}+k)\Gamma ^{-1}(d_{i})}}$

где $n=[n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}]$ и ${d}=[d_{1},d_{2},\dots ,d_{D}]$.

Моменты $X$ может быть получено из $M_{X}(t)$. Для $r\in \mathbb {N}$, необработанные моменты определяются выражением

$E(X^{r};p,\beta )=-r!{\frac {\operatorname {Li} _{r+1}(1-p)}{\beta ^{r}\ln p}},$

где $\operatorname {Li} _{a}(z)$ - функция полилогарифма , которая определяется какследует:

$\operatorname {Li} _{a}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{a}}}.$

Следовательно, среднее значение и дисперсия распределения ELдаются соответственно

$E(X)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}},$

$\operatorname {Var} (X)=-{\frac {2\operatorname {Li} _{3}(1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}-\left({\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}}\right)^{2}.$

Функции выживания, опасности и среднего остаточного срока службы.

Функция опасности

Функция выживания (также известная как надежностьфункция) и функция опасности (также известная как интенсивность отказов).функции) распределения EL определяются соответственно выражением

$s(x)={\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},$

$h(x)={\frac {-\beta (1-p)e^{-\beta x}}{(1-(1-p)e^{-\beta x})\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}}.$

Среднее остаточное время жизни распределения EL определяется выражением

$m(x_{0};p,\beta )=E(X-x_{0}|X\geq x_{0};\beta ,p)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}{\beta \ln(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}}$

где $\operatorname {Li} _{2}$ это дилогарифма функция

Генерация случайных чисел

Пусть U будет случайной величиной стандартного равномерного распределения .Тогда следующее преобразование U имеет распределение EL спараметры p и β :

$X={\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1-p}{1-p^{U}}}\right).$

Оценка параметров

Для оценки параметров EM-алгоритм используется . Этот метод обсуждается Тахмасби и Резаи (2008). Итерация EM определяется выражением

$\beta ^{(h+1)}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}}}\right)^{-1},$

$p^{(h+1)}={\frac {-n(1-p^{(h+1)})}{\ln(p^{(h+1)})\sum _{i=1}^{n}\{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}\}^{-1}}}.$

Связанные дистрибутивы

Распределение EL было обобщено и получило логарифмическое распределение Вейбулла.

Если X определяется как случайная величина , которая представляет собой минимум N независимых реализаций экспоненциального распределения с параметром скорости β и если N является реализацией логарифмического распределения (где параметр p в обычной параметризации заменяется на (1 − p ) ), то X имеет экспоненциально-логарифмическое распределение в используемой выше параметризации.