Круговое распределение

В теории вероятности и статистике круговое распределение или полярное распределение — это распределение вероятностей , случайной величины значениями которой являются углы, обычно принимаемые в диапазоне [0, 2 π ). ^[1] Круговое распределение часто является непрерывным распределением вероятностей и, следовательно, имеет плотность вероятности , но такие распределения также могут быть дискретными , и в этом случае их называют распределениями с круговой решеткой . ^[1] Круговые распределения можно использовать даже тогда, когда рассматриваемые переменные не являются явно углами: главное соображение состоит в том, что обычно не существует никакого реального различия между событиями, происходящими на противоположных концах диапазона, и теоретически разделение диапазона может быть сделано в любом месте. точка.

Графическое представление

Если круговое распределение имеет плотность

p(\phi )\qquad \qquad (0\leq \phi <2\pi ),\,

графически его можно представить в виде замкнутой кривой

[x(\phi ),y(\phi )]=[r(\phi )\cos \phi ,\,r(\phi )\sin \phi ],\,

где радиус $r(\phi )\,$ устанавливается равным

r(\phi )=a+bp(\phi ),\,

и где a и b выбираются исходя из внешнего вида.

Примеры

Вычислив вероятностное распределение углов вдоль рукописного чернильного следа,появляется лепестковое полярное распределение. Основное направление доли впервый квадрант соответствует наклону почерка (см.: Графономика ).

Примером распределения по круговой решетке может быть вероятность рождения в определенном месяце года, при этом каждый календарный месяц считается расположенным по кругу, так что «январь» находится рядом с «декабрем».

Любая функция плотности вероятности (pdf) $\ p(x)$ на линии можно «обернуть» окружность окружности единичного радиуса. ^[2] То есть PDF-файл обернутой переменной $\theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]$ является $p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.$

Эту концепцию можно распространить на многомерный контекст путем расширения простой суммы до ряда $F$ суммы, охватывающие все измерения в пространстве признаков: $p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}$ где $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ это $k$ -й евклидов базисный вектор.

В следующих разделах показаны некоторые соответствующие циклические распределения.

Круговое распределение фон Мизеса

Распределение фон Мизеса — это круговое распределение, которое, как и любое другое круговое распределение, можно рассматривать как обертку определенного линейного распределения вероятностей вокруг круга. Основное линейное распределение вероятностей для распределения фон Мизеса математически неразрешимо; однако для статистических целей нет необходимости иметь дело с лежащим в основе линейным распределением. Полезность распределения фон Мизеса двояка: это наиболее математически понятное из всех круговых распределений, позволяющее упростить статистический анализ, и оно является близким приближением к завернутому нормальному распределению, которое, аналогично линейному нормальному распределению, важно, потому что это предельный случай суммы большого числа малых угловых отклонений. Фактически, распределение фон Мизеса часто называют «круговым нормальным» распределением из-за простоты его использования и его тесной связи с завернутым нормальным распределением. ^[3]

PDF-файл дистрибутива фон Мизеса: $f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}$ где $I_{0}$ — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Круговое равномерное распределение

Функция плотности вероятности (pdf) кругового равномерного распределения определяется выражением $U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.$

Это также можно рассматривать как $\kappa =0$ фон Мизеса выше.

Завернутое нормальное распределение

PDF-файл завернутого нормального распределения (WN): $WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)$ где μ и σ — среднее и стандартное отклонение развернутого распределения соответственно и $\vartheta (\theta ,\tau )$ — тэта-функция Якоби : $\vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}$ где $w\equiv e^{i\pi \theta }$ и $q\equiv e^{i\pi \tau }.$

Завернутое распределение Коши

PDF-файл завернутого дистрибутива Коши (WC): $WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}$ где $\gamma$ масштабный коэффициент и $\theta _{0}$ это пиковое положение.

Завернутое распределение Леви

PDF-файл завернутого дистрибутива Леви (WL): $f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}$ где значение слагаемого считается равным нулю, когда $\theta +2\pi n-\mu \leq 0$ , $c$ масштабный коэффициент и $\mu$ это параметр местоположения.

Прогнозируемое нормальное распределение

Проецируемое нормальное распределение представляет собой круговое распределение, представляющее направление случайной величины с многомерным нормальным распределением, полученное путем радиальной проекции переменной на единичную (n-1)-сферу. Из-за этого, в отличие от других широко используемых круговых распределений, оно не является ни симметричным, ни унимодальным .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Додж, Ю. (2006). Оксфордский словарь статистических терминов . ОУП. ISBN 0-19-920613-9 .
^ Бахльманн, К., (2006), Направленные особенности онлайн-распознавания рукописного текста , Распознавание образов, 39
^ Фишер 1993 .

Источники

Фишер, Нью-Йорк (1993). Статистический анализ круговых данных . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-35018-2 .

Внешние ссылки

Математика и статистика круговых значений с C++11 . Инфраструктура C++11 для математики и статистики круговых значений (углы, время суток и т. д.).

[D-1] Jump up to: ^а ^б Додж, Ю. (2006). Оксфордский словарь статистических терминов . ОУП. ISBN 0-19-920613-9 .

[2] Бахльманн, К., (2006), Направленные особенности онлайн-распознавания рукописного текста , Распознавание образов, 39

[FOOTNOTEFisher1993-3] Фишер 1993 .

[1]

[2]

[3]