Распределение Марченко – Пастора

График распределения Марченко-Пастура для различных значений лямбда

В математической теории случайных матриц распределение Марченко -Пастура , или закон Марченко-Пастура , описывает асимптотическое поведение сингулярных значений больших прямоугольных случайных матриц . Теорема названа в честь советских математиков Владимира Марченко и Леонида Пастура , доказавших этот результат в 1967 году.

Если $X$ обозначает $m\times n$ случайная матрица, элементы которой являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со средним значением 0 и дисперсией $\sigma ^{2}<\infty$, позволять

$Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}$

и пусть $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}$ быть собственными значениями $Y_{n}$ (рассматриваются как случайные величины ). Наконец, рассмотрим случайную меру

$\mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .$

подсчет количества собственных значений в подмножестве $A$ включен в $\mathbb {R}$.

Теорема . Предположим, что $m,\,n\,\to \,\infty$ так что соотношение $m/n\,\to \,\lambda \in (0,+\infty )$. Затем $\mu _{m}\,\to \,\mu$ (в слабой* топологии по распределению ), где

$\mu (A)={\begin{cases}(1-{\frac {1}{\lambda }})\mathbf {1} _{0\in A}+\nu (A),&{\text{if }}\lambda >1\\\nu (A),&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}$

и

$d\nu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda _{-})}}{\lambda x}}\,\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+}]}\,dx$

с

$\lambda _{\pm }=\sigma ^{2}(1\pm {\sqrt {\lambda }})^{2}.$

Закон Марченко – Пастура также возникает как свободный закон Пуассона в теории свободных вероятностей, имеющий скорость $1/\lambda$ и размер прыжка $\sigma ^{2}$.

Моменты

Для каждого $k\geq 1$, его $k$-й момент

$$\sum _{r=0}^{k-1}{\frac {\sigma ^{2k}}{r+1}}{\binom {k}{r}}{\binom {k-1}{r}}\lambda ^{r}={\frac {\sigma ^{2k}}{k}}\sum _{r=0}^{k-1}{\binom {k}{r}}{\binom {k}{r+1}}\lambda ^{r}$$

Некоторые преобразования этого закона

имеет Преобразование Стилтьеса вид

$s(z)={\frac {\sigma ^{2}(1-\lambda )-z+{\sqrt {(z-\sigma ^{2}(\lambda +1))^{2}-4\lambda \sigma ^{4}}}}{2\lambda z\sigma ^{2}}}$

для комплексных чисел z с положительной мнимой частью, где комплексный квадратный корень также имеет положительную мнимую часть. Преобразование Стилтьеса можно переупаковать в форму R-преобразования, которое имеет вид

$R(z)={\frac {\sigma ^{2}}{1-\sigma ^{2}\lambda z}}$

S-преобразование определяется выражением

$S(z)={\frac {1}{\sigma ^{2}(1+\lambda z)}}.$

Приложение к корреляционным матрицам

Для частного случая корреляционных матриц мы знаем, что $\sigma ^{2}=1$ и $\lambda =m/n$. Это ограничивает массу вероятности в интервале, определяемом формулой

$\lambda _{\pm }=\left(1\pm {\sqrt {\frac {m}{n}}}\right)^{2}.$

Поскольку это распределение описывает спектр случайных матриц со средним значением 0, собственные значения корреляционных матриц, попадающие в вышеупомянутый интервал, можно считать ложными или шумовыми. Например, получение корреляционной матрицы из 10 доходностей акций, рассчитанных за период в 252 торговых дня, даст $\lambda _{+}=\left(1+{\sqrt {\frac {10}{252}}}\right)^{2}\approx 1.43$. Таким образом, из 10 собственных значений указанной корреляционной матрицы только значения выше 1,43 будут считаться существенно отличающимися от случайных.

См. также

• Распределение полукруга Вигнера
• Распределение Трейси – Уидома

Ссылки

• Бай, Чжидун; Сильверстайн, Джек В. (2010). Спектральный анализ случайных матриц большой размерности . Серия Springer по статистике (второе издание оригинальной редакции 2006 г.). Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4419-0661-8 . ISBN  978-1-4419-0660-1 . МР   2567175 . Збл   1301.60002 .
• Эппс, Бренден; Кривицкий, Эрик М. (2019). «Разложение зашумленных данных по сингулярным значениям: повреждение режима». Эксперименты с жидкостями . 60 (8): 1–30. Бибкод : 2019ExFl...60..121E . дои : 10.1007/s00348-019-2761-y . S2CID   198436243 .
• Гетце, Ф.; Тихомиров А. (2004). «Скорость сходимости по вероятности к закону Марченко – Пастура» . Бернулли . 10 (3): 503–548. дои : 10.3150/bj/1089206408 .
• Marchenko, V. A.; Pastur, L. A. (1967). "Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц" [Distribution of eigenvalues for some sets of random matrices]. Mat. Sb. N.S. (in Russian). 72 (114:4): 507–536. Bibcode : 1967SbMat...1..457M . doi : 10.1070/SM1967v001n04ABEH001994 . Link to free-access pdf of Russian version
• Ника, А.; Спейчер, Р. (2006). Лекции по комбинаторике свободной теории вероятностей . Кембриджский университет. Нажимать. стр. 204 , 368. ISBN.  0-521-85852-6 . Ссылка для бесплатного скачивания Еще один сайт с бесплатным доступом
• Тулино, Антония М.; Верду, Серхио (2004). «Теория случайных матриц и беспроводная связь». Основы и тенденции в теории связи и информации . 1 (1): 1–182. дои : 10.1561/0100000001 . Збл   1143.94303 .
• Чжан, В.; Абреу, Г.; Инамори, М.; Санада, Ю. (2011). «Алгоритмы определения спектра с помощью конечных случайных матриц». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 60 (1): 164–175. дои : 10.1109/TCOMM.2011.112311.100721 . S2CID   206642535 .